212 150 



Uli A' (Icsigiie k' uuiiibiL' lies Iraiisfuriiialiuns ilii gruupu . ütaiil iloiiiié (|ii'il ii'\ a aurtiiie 

 traiisformatiüii (lui permute les poiuts doubles de A^, A., . . ., laudis qu'il y eu a une ijui 

 periiuite ceux de B^. B.^ ... 



Comme n, est au moins égal à 2, 



".- 1 > _L 



Il ne peut donc y avoii' au [dus dans le y:rüupL> iiuuue transformation avec ses 

 séries dont les poiuts doubles ne soient pas permutés par (jnelipie Irausforniatioii du irroupe. 



S'il y a une pareille transformation dans le groupe, on voit qu'il ne peut au plus 

 renfermer qu'une transformation avec ses séries dont les points doubles soient permutés 

 par quelque transformation du groupe. 



Si le groupe ne comprend qu'une transformation dont les poiuts doubles ne sont 

 pas permutés et les séries qui appartiennent à cette transformation, on doit avoir: 



N = „, 

 le groupe ue contient i[u'une transformation et ses puissances. 



Si le groupe renferme les transformations A^ et B^. on aura: 



N 



\ "i 2m, J 



V ■2m,n^ 



iV = ; -r . 



Tij -r 27?Jj — iWj «1 

 Le dénominateur devant être positif, il en résulte que: 



n^ -\-2»ti — »jjrtj > et (??i( — lM«i — 2| < 2. 

 ce qui exige ou que ^i, = 2 et m^ soit arbitraire, ou que «, = 3 et m, = 2. 



Ces deux cas correspondent à des groupes Onis, mais le premier seuleuieut 

 lorsque m est impair. Dans le premier cas, on a A' = 2m et un groupe cycli(iue , dans 

 le second N= 12 et un groupe tétraédrique. 



Si le groupe ne renferme que des transformations dont les points doubles sont 

 permutés par une autre transformation, le groupe ne peut au [Am renfermer que i trans- 

 formations avec leurs séries respectives. On a alors: 



N /in^ — I ^ m., — 1 



Aucun des termes ne peut manquer, puisque le groupe comprendrait alors un 

 nombre de transformations moins grand que l'ordre le plus élevé de celles dont il se 

 compose. Une au moins des quantités tn doit être égale à 2, car autrement on aurait: 



A //n, — 1 . iiio — 1 



2 \ m, ' m, ' m.^ ) 



A /m^ — 1 . »lo — 1 »«3 — ' \ = 

 2 \ ni^ ' in,y m-j J " 



Nous poserons donc //i, ^ 2, ce qui donne : 



> ^V 



^ imoin^ 



On doit alors avoir: 



2 m„ -j- 2 m.^ — ?«o 7n.^ 

 »«2 — 21 («3 — 2) < 4. 



