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Nous aurons aiusi le cas suivants: 



»Ij 



= 



9 



'«3 



arbitraire, 



m. 



= 



3, 



»«3 



= 3, 



m 2 



= 



3, 



»»3 



= 4, 



m 2 



= 



3, 



»la 



= 5. 



De ces cas, le deuxième est impossible, car le groupe devrait contenir deux 

 transformations B et C du 3° ordre avec des points doubles dilTérents. On peut maintenant 

 faire voir que toute transformation A du 2*^ ordre qui permute les points doubles de B 

 doit aussi permuter ceux de A. Mais le groupe, contrairement à l'hypothèse, devrait alors 

 renfermer au moins 5 transformations du 2° ordre A, BA, B'^A, CA et C^A. 



Aux autres cas, par contre, correspondent des groupes réels, au premier pourtant, 

 seulement lorsque m^ est pair. Le groupe est alors cyclique. 



A tn^^'è, Ma = 4, correspond le groupe octaédrique, pour lequel A' =24. 



A OT.^ = 3 et m.^ = 5, correspond le groupe icosaédrique, pour lequel N= 60. 



20) Nous déterminerons encore algébriquement dans les paragraphes suivants 

 les groupes possibles. 



Lorsque deux transformations appartiennent à un groupe Qui, le rapport anharmo- 

 niquc entre leurs points doubles est réel. 



21) En supposant toujours que le groupe contient les deux transformations: 



nous pouvons, d'après le g 20, supposer que le groupe est transformé de manière que A et 



B aient des poiuts doubles réels, a^ et ö, sont alors des quantités purement imaginaires. 



Nous formerons maintenant AB^A^ qui est supposé être de l'ordre n. Si n est 



V 



pair, (AB'^Af'- sera une transformation du 2° ordre. 

 Si n n'est pas pair, on peut former: 



n—i n — 1 



(AB^Af^AB . BA(AB^A)'^, 

 qui est une transformation identique. Ses deux parties, que sépare le signe de la multi- 

 plication, sont telles que l'une se déduit de l'autre en permutant A et B. 

 On voit donc que: 



rt— 1 n — 1 



C = {AB^A)~^AB et C, = {A-'B-^A-^)~^A-^B-' 

 sont des transformations identiques. Mais comme A et B ont des points doubles réels, 

 C et C, ont des multiplicateurs communs et des points doubles dont les coordonnées 

 sont des quantités conjuguées ou des quantités réelles. Si les coordonnées des points 

 doubles de C sont réelles , C ne variera pas lorsque ses multiplicateurs seront permutés 

 avec leurs quantités conjuguées, ce qui seulement est possible si C est du 2° ordre. 



Si les coordonnées des points doubles sont des quantités conjuguées complexes, 

 les points doubles de C et de Cj doivent être harmoniques. Le groupe renferme alors 

 deux transformations dont les points doubles sont harmoniques, et nous pouvons supposer 

 (|ne A el B sont deux jiareilles transformations, A eX B appartenant aux formes ci-dessus 

 luenlionuées. a^ et ôj doivent être des quantités réelles lorsque les points doubles de A 



