214 152 



cl lie B sont liiirmoniques. Nous pouvons aloi's IrunsIbiMiKir le Ki''JU|)e de luaiiièrc (jue 

 ttj et 6, deviennent aussi réels. On voit donc qne les points doubles de: 



AB"' AB--"' A 

 sont les conjugués liarmonicjues de ceux de J3, et si le premiei' cocrilcient de A n'est 

 pus nul, on peut toujours déterminer m de manière qne le premier coelïicii'nl de 

 AB"'AB^"'A soit numériquement moindre que le coefficient corres|)ondiuit de A sans 

 cependant être nul. Le groupe ne peut être fini à moins de contenir des transformations 

 du 2" ordre. 



22) Un groupe fini devant toujours renfermer ane transformation du 2'' ordre, 

 nous pouvons supposer que A est une transformation de cet ordre et se présente sous 



\ uy' = ibx — iay'' 

 où a et h sont réels. On peut aussi supposer que le premier coefficient, dans toutes les 

 transformations du 2'= ordre du groupe, est nul ou qu'il ne Test pas. Examinons d'abord 

 le dernier cas en choisissant A de manière que a > 0, et que sa valeur numérique 

 soit la plus petite qu'il puisse avoir dans une transformation du 2"= ordre appartenant 

 au groupe. 



Nous formerons maintenant AB™AB~™A, qui est aussi une transformation du 

 2'' ordre (A transformée par AS'"'). Le premier coefficient de cette transformation est: 



ia[—a^-~b'^ («2'« + «2»') -1-62) 

 et on doit alors avoir: 



|«| < |a( — a' — 62(a2,„_^-2„,, _^/,2)|^ 

 à moins que : _ 



— «2 _ J2 (^2m _y ^^2m _ j) ^.. Q_ 



On a «2 _|_ ^2 = 1 et, en posant a == cosM^-^sinH, on aura ou: 



— 1 -f 462 sin2^„ = (49) 



ou : I — 1 + i ^^ sin^ ""« I > ' , (50) 



équations qui doivent être satisfaites par toutes les valeurs de m. 



Comme |6| < 1 et que m peut toujours être choisi de manière que |sin?«H|>0, 

 on tire de (50) : _ 



I sin 7)1 M I > V^ , 

 ou de (49): 



I sin mv\ > Tj- . 



Si B est une transformation d'ordre ??, sin — sera la plus petite valeur numérique 



n 



de smmu. On doit donc toujours avoir: 



. t: ^ \ 

 sui — > "TT ) n < b. 

 n 2 



Un groupe fini, si |o|>0, peut donc au plus renfermer des transformalions du .Vordre. 



Si toutes les transformations du 2" ordre appartenant au groupe sont de la forme: 



_ j fjw' = atj 



[ uy = — am 

 les points doubles de A et de B seront harmoniques, et l'on voit facilenieui que le groupe 



