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sera im groupe cyclique qui ne renferme pas d'autres transformations que celles île la 

 forme B^ et B'>A. 



23) Aperçu des groupes possibles. 



A) Toutes les transformations sont des puissances de la même transl'oi'mation. 



B) Le groupe renferme des transformations avec des points doubles différents. 



1) Groupes cycliques. Us se composent des puissances d'une transformation A d'ordre 

 n et de n transformations du 2"^ ordre qui permutent les points doubles de A. 



2) Groupes qui renferment plusieurs transformations d'un ordre plus élevé que 

 le 2'^, avec des points doubles différents. 



a) Groupes tétraédriques, qui se composent d'une transformation dii S" ordre 

 avec des séries de 8 transformations, et d'une transformation du 2'^ ordre 

 avec une série de B transformations. N = M. 



b) Groupes octaédriques , qui renferment une transformation du 4*^ ordre avec 

 des séries de 9 transformations, une du 3^ ordre avec des séries de 8 trans- 

 formations, et une du 2"= ordre avec une série de 6 transformations. N = 24. 



c) Groupes icosaédriques, qui comprennent une transformation du h^ ordre avec 

 des séries de 24 transformations, une du 3^ ordre avec des séries de 20 trans- 

 formations, et une du 2" ordre avec une série de 15 transformations. A'= GO. 



24) Formation des groupes cycliques. 



25) Groupe tétraédrique. Il contient une transformation du 2^^ ordre: 



\ [ix' = iaai-\-ihy 



\ fiy' = ibx — iay 

 et une transformation: 



{[ix' = ai 

 ^y' = at 



ly 2 



BA aussi bien que B'^A doit être du 3"^ ordre, puisque Å ne permute pas les 

 points doubles de .ß. On a par suite: 



i/r 



a = |/x, h = l/|. 



(Vu groupe appartiennent toutes les transformations de la forme: 



i a^" 1.^3 , ia'tV^ 



,"•'» == —g — *'4 3 — y 



p-y = — g—*' g— «/■ 



On voit que le groupe est fini puisque le produit des transformations des formes 

 que nous considérons ici présente une de ces formes. 



26) Groupe octaédrique. Il est déterminé par les deux transformations: 



' f fi.'c' = iax -f- ihy 



\ iiy' == ibx — if-iy 



et 



\ (ix = ax i/'2 -L il/2 

 ^ = { , - où a = H 



1/9 



BA et SM doivent être du 3'= ordre et ßM du 4^ On trouve a == h = ^-. Le 

 groupe renferme, outre 5, toutes les transformations de la forme: 



Vidensk. Selsk. Skr., (j. Række, naturvidensli. og: mathcm, Afd. V. 2. 28 



