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IV. (ji'oupes finis (les transformations du plan (ou Groupes finis des ti'ausloriuations 



de 2 variables). 



28) Les transformations do plan ont en général -3 points doubles et 3 lignes 

 doubles. 11 peut cependant arriver que deux des multiplicateurs sont égaux. Dans ce 

 cas , les transformations sont dites perspectives. Toutes les lignes qui passent par un 

 de leurs points doubles sont des lignes doubles, et tous les points de la ligne double 

 qui ne passe pas par ce point double sont des points doubles. Le point et la ligne eu 

 question sont appelés le centre perspectif et l'axe perspectif de la transformation. Le 

 produit de- deux transformations perspectives donne une transformation qui a un point 

 double à l'intersection des axes perspectifs, et une ligne double dans la ligne (jui joint 

 les centres perspectifs. 



Nous montrerons d'abord qu'il n'existe pas de groupes qui se composent exclu- 

 sivement de transformations perspectives, à moins que toutes les transformations du groupe 

 n'aient trois points doubles communs. 



Etant donné deux transformations perspectives A et B où la ligne des centres 

 est *• = et l'intersection des axes a' = 0, y=0, et où le centre perspectif de A est 

 a; = Q^ y = 0, elles seront représentées par les équations : 



fjtx -- ax i p. 



A ^ \ (iij ^ ay Q,i B = } ny' == b^y + c 



l 



icc = a j Æ' 



[iz' = a- 3 l/^- = "éV 



l: 



■"i ■ 



•.z' = h.> 







a ■ 



où B a encore un multiplicateur égal à «[. Mais AB ne peut pas alors être une trans- 

 formation perspective, à moins que A et B n'aient trois points doubles communs. Par 

 conséquent, si toutes les transformations du groupe n'ont pas trois points doubles coni- 

 nuuis, le groupe doit renfermer des transformations qui ne sont pas perspectives, et nous 

 pouvons lui appliquer les propositions développées dans les chapitres 1 et H. 



29) Cherchons maintenant si un groupe fmi peut renfermer des transformations 

 de la forme: 



et ß = ' 



//*■ 



= a ^x -\- tij^y -\- c^z 



/^y 



= l^-iy-r<:-,z 



f,z' 



= b.^y + c.,z 



fix = flji« 



A = \ fiy' = ßy e\. B = lny' =^ a.,x -f b.,y + c.,z 



\[j.z' == a.^x -^ b.yy + a.^z 

 ou, en d'autres termes, si un élément d'un déterminant d'une transformation peut être 

 nul sans que le sous-déterminant correspondant le soit. 



11 nous suflira de considérer le premier cas, B transformant les coordonnées d'une 

 ligne droite à l'aide d'une transformation de la forme B'. 



On trouve qu'un groupe fini ne peut contenir des transformations de la forme 

 A et S, car il devrait alors aussi renfermer une transformation de la forme: 



fjLx' = X -\- qy -1- rz 



^y' = y 



,xz = z. 



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