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Si nous posons maintenant: ^ _^ cost -^ i<iat 



ß = cosM + tsiuH 

 Y = cosr -L isinv 

 la partie réelle du premier élément sera: 



a = 'Oïl'^ — cos?« (^ — «Ij^il'- — cos/«(' — ''■)|<''ii'- 

 On peut toujours choisir m de façon que a soit plus grand que \a^l- et. [lui cuaséqueut. 

 que la partie réelle de «j. d'où il suit que le groupe ne peut être fini. 



3'2) Recherche des conditions que doivent remplir les éléments de B. 

 Ces conditions, à savoir que a^, ij, c^ doivent être les conjugués de leurs sous- 

 déterminants , sont indépendantes les unes des autres. Mais nous montrerons que . en 

 donnant ai, 6.,, c.^. on détermine déjà par là si les antres éléments peuvent être ou non 

 les conjugués de leurs sous-déterminants. 

 L'équation (701 donne: 



jui — la^ ^0.,)uî-rfi-ib.^ = fjL~l — i-4j — B„) u-i+ [lïc.^ 

 et comme les quantités de chaque côté du signe = sont conjuguées, elles sont toutes 

 deux réelles. Les dénominateurs à trois termes des équations iTli sont donc réels. Si, 

 dans les deux premières lignes de iTli, on multiplie lun par l'autre le premier et le dernier 

 rapport, il vient: 



\a-\A.^-\- fj.\c^)\fi-\C^^[iïa.^) = une quantité réelle. (73) 



On a en outre: _ _ 



b. 



■i. C, 



'3 



et comme u^ c.^ = Aj^Cj, on aura aussi: 



J^C'i = a^ c, (74) 



et les équations analogues. 



De iToi on déduit alors: 



Cj Cj -^a.^A.j = une quantité réelle. 

 .Mais il résulte de iT4i que: 



Cj^C^a.^A-^ = une quantité réelle positive, 

 et, les éléments du terme principal étant les conjugués de leurs sous -déterminants, il 

 s'ensuit par conséquent que Cj C, et a^A.^ sont des quantités réelles ou imaginaires con- 

 juguées. Si CjCi est réel, cette condition, jointe aux précédentes et à celle que 

 i'*!,! Î^L'Ii l'^sl *o'^'^ tous plus petits que 1. est suffisante pour qu'on puisse donner à la 

 transformation la forme mentionnée au g 31. Il est en effet facile d'en conclure que le 

 produit de chaque élément par son sous-déterminant est une quantité réelle. Si quelques- 

 uns de ces produits étaient négatifs, les trois quantités |ßi|, j6,|, \o^\ ne pourraient 

 pas toutes être plus petites que l. 



On peut du reste calculer facilement CjC, et trouve: 



''1^1 — s ) 



K = Il -f- 2'|a,j^ 4-4|ai6.,C3 + a^b^c.^) — 2(£\a,\^ -^ i:\a^^- b./-,) 



