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33) Passunl inaiuteuuul à la (;uMi[)o»iliuii tic» lraii»roriiiuliuus iiui out les iiiénie» 

 point» doubles, nous pounous nous buiuer à cousidérer le eas de deux trauslornialioiis 

 ^ et S de l'ordre p"' et /)"-', p étant im nombre premier, et arrivons alors au résultat 

 suivant: si les transformations avec les mêmes points doubles ne sont pas toutes des puis- 

 sances d'une seule et même transformation, ou peut, lorsiiue a, ^ a,, supposer B choisie 

 de façon qu'elle ne soit pas égaie à une puissance de ^, ou ii une puissance de ^'multi- 

 pliée par ime transformation d'un ordre inférieur à p"-; le produit des puissances de A 

 et de B donnera alors p'"'+''2 transformations, parmi lesquelles se trouveront toutes les 

 transformations de l'ordre p"' avec les points doubles donnés. En général, on voit donc 

 que si des transformations ayant les mêmes point» doubles ne sont pas toutes des puis- 

 siuices de la même transformation . elles peuvent être formées eu multipliant deux trans- 

 formations et leurs puissances. 



34) En supposant toujours (]ue les groupes ne se composent pas uniiiuement de 

 transformations avec des points doubles communs, nous examinerons à présent ceux qui 

 renferment des transformations perspectives d'un ordre plus élevé que le 2^. 



Supposons d'abord que le yroupe renferme des transformations perspectives du 

 G"" ordre ou au-dessus. S'il en contient deux avec des centres dilïérents, ces transformations 

 et le groupe formé par leur combinaison laisseront la ligne des centres comme elle est. 

 Le groupe étant du 6' ordre ou au-dessus par rapport à cette ligne, il devra être cyclique 

 relativement à la même ligne, et l'axe de l'une des transformations passera par le centre 

 de l'autre. Il est alors facile de voir, en supposant que les points doubles de l'une des 

 transformations du groupe coïncident avec les points fondamentaux du système des coor- 

 données, que le groupe ne peut avoir que des transformations de la forme: 

 I. li. 111. 



/ix' = ax fiaf = ax jix' = pij | 



y^y = ßy y^y = bz y-y = 'i- r <^<ji 



az' ^ r- y^' ^ <^y y- = '-^ I 



ou les transformations qu'on obtient en permutant x. y. c. Nous appelons ces groupes 

 des groupes cycliques du plan. 



35) Si le groupe renferme des transformations perspectives du h'^ ordre . il doit 

 être cyclique ou aussi contenir 2 transformations ß et C de la même espèce , avec des 

 centres dilïérents et d'une nature telle que le groupe formé par ß et C ne transforme 

 pas la ligne des centres et soit icosaédrique par rapport à cette ligne. 



A tl B peuvent s'écrire sous la forme: 



( ux' = ax f fjix' = ax 



A =E I piy' = a- y et ß ss uy' = b.,x + c.,y 



\uz' =1lx I ,«-' = b.^x + c^y 

 et le groupe renfermera alors une transformation qui permute les poiuts doubles de A et. 

 par conséquent, aussi: 



fjuii"' = ax [,"•'■' =^ *'"^' 



I> = \ fiy = "ay et Al) ^ uy = ay 



\ uz = a-z y^' = «2- 



