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La transformiilion (|ui permute les points doubles de A doit a\oir la forme: 



E ^^ I ny' ■-= c^z pour c,,b.^ = — (/P. 

 \ fiz' = b.^y 

 E^"AD est donc une transformation perspective du 10" ordre. Suivant le g 34, toutes les 

 transformations du groupe doivent laisser la même ligne droite comme elle est. 



36) Supposons maintenant que le groupe renferme des transformations perspec- 

 tives du 'lo ordre. Comme auparavant, on voit que le groupe doit être ou cyclique, ou 

 renfermer deux transformations perspectives du 4° ordre, et telles que le groupe formé par 

 leur combinaison transforme la ligne des centres par un groupe octaédrique. Les trans- 

 formations A e[ B ayant la même forme que dans 35), le groupe doit renfermer une 



transformation : 



/Li X = — æ 



liy' = i y 



lit' = iz 

 et on en conclut que, dans un groupe fini, l'intersection des axes de deux transformations 

 perspectives du 4^ ordre' et la ligne qui en joint les centres, seront toujours respectivement 

 le centre et l'axe d'une nouvelle transformation perspective du 4'= ordre. 



Le groupe octaédrique de la ligne droite ne contient que 3 transformations du 

 i"^ ordre avec des points doubles différents. On voit donc que l'axe d'une transformation 

 perspective du 4"= ordre appartenant à une groupe fini, ne peut au plus être coupé qu'en 

 6 points différents par les axes des autres transformations analogues du groupe. Mais 

 ou peut montrer que si les transformations du groupe ne laissent pas toutes la ligne 

 droite sans changement (ou si le groupe n'est pas cyclique), chacun des axes ci- dessus 

 mentionnés sera coupé an moins en 7 points par les autres axes. Par conséquent, toutes 

 les transformations du groupe doivent laisser une ligne droite comme elle est. 



37) Nous arrivons maintenant aux groupes qui renferment des transformations 

 perspectives du 3"^ ordre. Prenons un groupe contenant deux de ces transformalions mises 

 sous la forme : 



f licc' = aæ { fim' = ax 



] „11' = rt'hi ol ?i = } 



(J-y' = «'^ ei iJ = . iiy' = h^y+ c^z 



fiz' = az \P-^ = ^'3^+C3« 



où « est une racine 9'^ de l'unité, et considérons le cas où la ligne des centres, x = 0, 

 n'est pas transformée par un groupe tétraédrique, AB doit alors aussi être une trans- 

 formation perspective du 3"^ ordre, car autrement AB serait du 2" ordre pour x = et 

 [AB]"- une transformation perspective du 6"^ ordre. A'^B sera donc du 2'" ordre par rap- 

 port à X = et [A'^BY une transformation perspective du 2'= ordre avec æ = pour axe. 



L'intersection des axes de deux transformations perspectives du o^ ordre et la 

 ligne qui en joint les centres, sont donc respectivement le centre et l'axe d'une autre 

 transformation perspective du 3'' ordre, en tant que le centre de l'une des deux premières 

 transformations ne se trouve pas sur l'axe de l'autre. 



On peut aussi montrer que l'intersection des axes de deux transformations perspectives 

 respectivement du 2" et du 3'' ordre, dont le centre de l'une n'est pas situé sur l'axe de 



