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lautre, doit être le centre diiue transformation perspeitive du i" ordre dont Taxe est la 

 ligne des centres des deux premières, et que cette ligne nesl pas transformée par les 

 transformations d'un groupe cyclique. 



^lais on peut montrer qu'il n'y a ()ue des groupes dont les transformations ne 

 transforment pas une ligne droite. Car autrement, par tous les centres des transformations 

 perspectives du 3^ ordre, situés sur a; = 0, et par les points en lesquels ces centres 

 peuvent être transformés, devraient passer deux lignes qui sont des transformations de 

 .ï = 0. Si le groupe renfermait N transformations, le nombre de celles qui ne trans- 

 forment pas X = serait, avec les transformations de leurs séries, représenté par ^A', 

 et si le groupe était possible, on aurait iV^216, et le nombre des autres transformations 

 du groupe devrait être 5^-^', ce qui. on le voit, est impossible. 



38) Cherchons maintenant si des groupes dont les transformations ne transforment 

 pas toutes la même ligne droite, et qui ne sont pas cycliques, peuvent renfermer deux 

 transformations A el B avec des points doubles différents, et telles qu'elles aient une 

 puissance commune, qui alors devra être une transformation perspective du 2° ordre. 



A et B peuvent se mettre sous la forme : 



ix = a,x 



[IX = ax fix = 



A = { fiy' = ßy B = l/ii/' = b„y -\- c.z 



fis' = yz [,"'' = b^y + c^z 



Comme conséquence de ce que nous savons des groupes de la ligne droite, et 

 vu que les groupes ne doivent pas renfermer des transformations perspectives d'un ordre 

 plus élevé que le deuxième, a et a^ doivent l'un et l'autre être égaux à ^r; 1. Au cas 

 que les transformations d'un groupe non cyclique ne transforment pas æ = 0, il faut que 

 a et Oj correspondent à 4- 1 , soit parce que. sans cela, le groupe devrait renfermer des 

 tnmsformations perspectives d'un ordre plus élevé que le deuxième, soit parce que, si un 

 groupe octaédrique ne fait pas varier x = 0, le nombre des transformations qui ne font pas 

 varier x = serait, avec les transformations de leurs séries, réprésenté au moins par j^A': 

 or on voit que A' doit être égal à 48. et que toutes les transformations du groupe doivent 

 ne pas transformer æ = 0. 



39) En partant toujours de l'hypothèse que le groupe n'est pas cyclique, et que 

 ses transformations ne laissent pas toutes la même droite comme elle est, nous allons 

 chercher dans quelles circonstances une transformation A, avec les multiplicateurs «, ß. 7-, 

 peut être transformée par une autre transformation B du groupe en une transformation 

 ayant les mêmes points doubles que A. 



11 peut se présenter les cas suivants: 



Il Les points doubles de A ne sont pas déplacés pai- la transformation dont il 

 s'agit. A ei B doivent avoir des points doubles communs. Elles peuvent être l'une et 

 l'autre des puissances de la même transformation, ou des puissances de la même trans- 

 formation multipliée par une transformation perspective du 2'' ordre ayant les mêmes points 

 doubles que A et B. 



2i B peut permuter deux des points doubles de A. Les multiplicateurs de A 

 doivent être -^ I. a. -i- a. 



