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3) B peut déplacer circulairement les points doubles de A.B'^ doit alors avoir 

 pour points doubles ceux de ^, et par suite être une transformation identique. B est 

 du 3° ordre. 



Supposons qu'on ait: 



' HX' = ax 



f^y' = ßy 



(iz' = yz 

 en déplaçant circulairement les points doubles de A, il vient: 



Ilid = ßx 

 p-y' = ry 

 fiz' = az . 



On voit facilement qu'il nous suffira de discuter le cas où A et A' appartiennent nu 

 même groupe fini, et oii A est de l'ordre p", p étant un nombre premier; A' doit alors 

 être une puissance de A ou une puissance de A multipliée par une transformation 

 du 2" ordre. 



Laissant de côté le cas de p ^ 2, nous devrons avoir: 



r = «""/ 



et, comme a . /9 . ;- = 1, 



En faisant p == 3 , nous voyons que cette dernière équation ne peut être satis- 

 faite que si a=l, car elle est impossible pour a = 2 et, par conséquent, pour de plus 

 grandes valeurs de a. Si p n'est pas égal à 3, on aura 1 = a""^"' , ce qui fait voir que 

 p doit être un nombre premier de la forme 'åg-i- 1. 



Une transformation dont les points doubles sont déplacés circulairement par une 

 .autre transformation d'un groupe fini doit être d'un ordre n , n pouvant renfermer les 

 facteurs 2, 3 et des facteurs premiers de la forme 3^+1. Si A est de l'ordre 2h, et 

 qu'aucune transformation d'un ordre plus élevé n'ait les mômes points doubles que A, 

 il y aura en tout An transformations avec les points doubles de A. 



40) Voyons maintenant combien de transformations renferment divers sous-groupes 

 avec leurs séries. 



Soit toujours 7V le nombre des transformations d'un groupe. S'il n'est rien dit 

 de contraire , on suppose toujours qu'une transformation A est d'un ordre aussi élevé ou 

 plus élevé que toute autre transformation ayant les mêmes points doubles que A. Sup- 

 posons d'abord que le groupe ne renferme pas de transformations avec des points doubles 

 différents et une puissance commune, et que l'ordre n de A soit impair. De même que 



Tl — 1 71 — 1 



dans le g 18, on trouve que J, avec ses séries, renferme respectivement iV, -- — N et 



~ — N transformations , suivant qu'il n'y a pas de transformation qui permute les points 



doubles de A, ou qu'il y en a une qui en permute deux, ou enfin qu'il y en a une qui 

 les déplace circulairement. 



Videusk. Selsk. Ski.. 6. Række, natnrvidensk. o^ mathom. Afd. V. 2. 29 



