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Si « == 3, les poinis doubles peuvent à la fois élre déplacés circulairement el 

 permutés deux à deux. Dans ce cas, A avec ses séries renferme — transformations, 

 et doit avoir les multiplicateurs I, a, a, si deux de ses points doubles sont permutés. 



\\\ Supposons maintenant Â d"ordre pair. S'il y a des transformations ayant les 

 mêmes points doubles que A et qui ne sont pas des puissances de A. elles doivent être 

 une puissance de A multipliée par une transformation du 2* "ordre, car autrement le groupe 

 renfermerait des transformations perspectives dun ordre plus élevé que le 2^. Nous 

 pouvons, dans ce cas, supposer que toutes les transformations ave«- )o> ni'-oK-s points 

 doubles que A sont formées par le produit des puissances de: 



t[ix' = ax (ux = — X 



A = ü/ = ßy par Ä ^ Ky'^y 



\(IZ' = JZ \liz' = —2 



et que A est de l'ordre 2fi, où n est impair, puisque autrement le groupe renfermerait 

 des; iransforraatioTis perspectives d'un ordre plus élevé que le 2^. 



Si A est une transformation d'ordre pair dont les points doubles sont permutés 

 par ime transformation ß, examinons le cas où A est de la forme: 



i^af = — X 



^ — -"/ = «^_ 

 \liz' = —az. 



La transformation qui permute les points doubles de A peut alors avoir la forme: 



ttiof = -i-ar 

 ß = J/a/ = az_ 

 I - --' = =ay. 



!?«ous prendrons pour B le signe supérieur, car sinon AB serait une transforma- 

 tion ayant les mêmes propriétés que B el son premier multiplicateur ^ I. On voit alors 

 dce qne je n'ai pas fait observer dans le texte danoisH, qu'une transformation de la forme A 

 dont les points doubles sont permutés par ime autre transformation du groupe, ne peut 

 se trouver que dans des groupes qui ont des transformations avec des points doubles 

 différents, mais avec une puissance commune, B- ayant les mêmes points doubles que A. 



On peut du reste procéder comme dans le ?. ^10, en prenant pour l'ordre de A le 

 nombre des transformations qui ont les mêmes points doubles que A. 



42) îSous passerons matutenant h l'examen du nombre des transformations dans 

 des séries appartenant à des sous -groupes dont les tnansformations ont une puissance 

 commune, et dont aucune ne transforme une ligne droite x ^= 0. 



l>eux transformations d'un pareil sous-groupe seront de la forme: 



fty' = aif et B ^ J «?/ = b^>/ + c,z 



