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Si le sous-öTüupe, eu ce iiiii concerne x = 0, n'est pas cycliiiLie, il l'uni preiidre 



le signe snpérienr, et le nombre des transformations qui ne transforment pas æ = sera, 



2(/— 1 

 avec leurs séries, de ~ — N, q étant au moins égal à 12. 



Si le sous-groupe est cyclique, A de l'ordre 2q et qu'on prenne le signe supérieur, 



ce nombre sera de — — N. 

 kq 



Si le sons-groupe est cyclique et si l'on prend le signe inférieur de Â^ mais qu'il 



n'existe aucune transformation du 2'^ ordre qui ait les mêmes points doubles que A sans 



être une puissance de A^ A doit être de l'ordre Stj, car si ?i, étant l'ordre de A^ n'était 



divisible ijue par 2 ou par 4, ou aucune puissance de A ne serait du 2'^ ordre avec x = 



pour axe perspectif, ou une puissance de A serait une transformation perspective du 



-i'= ordre. ^-"'+' ß et (^-'"5)- peuvent appartenir à la même série. Le nombre des Irans- 



12a— 1 

 formations qui ne transforment pas a; = est, avec leur séries, d'au moins —~-p, — N. 



Les mêmes considérations s'appliquent au cas d'une transformation du 2'^ ordre 

 qui a les mêmes points doubles que A sans être une puissance de A ; A doit alors être 

 de l'ordre 2ç, q étant impair, et il y a en tout ig transformations avec les mêmes points 

 douiles que A. Le nombre des transformations qui, avec leurs séries, ne transforment 



pas X = est au moins é^ai à -^7, — iV. Ce chifl're cesse d'être exact si (/ = 3, et une 



^q 



autre transformation déplace circulairement les points doubles de A. Dans ce cas, J, 

 ^'"B et leurs séries forment ^i<i transformations. 



Nous voyous ainsi que, dans tous les cas où l'on prend pour A le signe supérieur, 

 le nombre des transformations qui ne transforment pas *■ = sera, avec leurs séries, de 



iV, p étant au moins égal à 8. Si yj > 8, le groupe ne peut renfermer que les trans- 

 formations ci-dessus avec leurs séries, et aucune d'elles ne transforme la droite *• = 0. 



Si /3 = 8, le groupe peut encore renfermer une transformation du 3° ordre dont 

 les points doubles sont à la fois déplacés circulairement et permutés deux à deux. On 

 a alors : 



y/V + i-A^-f 1 = A^ et xV = 72 



et le groupe existe réellement. Il renfermera comme sous-groupe un groupe pour lequel 

 iV = 36. 



Lorsqu'on prend pour A le signe inférieur, nous avons vu que le nombre des 

 transformations qui, avec leurs séries, ne transforment pas x = est au moins de 



-4 — N si q est autre que 3, et de '—N si a = 3. Des considérations analogues à 

 8g ■' /2 ^ 



celles que nous exposerons plus loin montrent que, dans les deux cas, il n'y a que des 



groupes dont aucune transformation ne transforme la même droite , ou des groupes 



cycliques. 



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