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i3| Vovou» inaiiiU'iuiiU d'uiic niaiiiére gcaéraie (jiiels :'i)Ul le» ^'roii|n;s ([iii ne 



renlernieut pas de tniuslonnaliuiis ayaiil des poiiils doubles dilléreiits, mais une puissance 



H — I 

 cuninuuie. Appelant N2! le nombre des transformations dont les points doubles ne 



7i — I 



sunt iiernuités par aucune autre transformation du "rouiie, NI' -^ le nombre des trans- 



forinalious dont deux points doubles sont permutes. -V2'-^ le nombre des transforma- 



lions dont les points doubles sont déplacés circuiairement. et eulin ^ le nombre des. 



Iransformations dont les points doubles sont à la fois permutés et déplacés circuiairement. 

 ou aura: 



Nh'^-^y:'^=^ + i^'^^l) + I = .V ,79) 



\ n lUi -in, 9 / 



ou: 



± = 1 - v^=^ - 2^'-^^=* - 2'-l— - 1 (80) 



équation qui donne la proposition suivante: 



Le nombre des transformations d'un groupe fini est égal au plus petit 

 nuilliple commun des ordres des transformations du groupe, ou à ce nombre 

 multiplié par 2, :3 ou 6. On voit en même temps que ces facteurs ne peuvent 

 intervenir que si le groupe renferme des transformations dont deux points 

 doubles seulement sont permutés par une autre transformation du groupe, 

 ou des transformations dont les points doubles sont déplacés circuiaire- 

 ment. ou enfin des transformations de ces deux espèces à la fois. (81) 



rsous pouvons nous borner à examiner les groupes qui renferment des trans- 

 formations dont les points doubles sont déplacés circuiairement , ceux où cela n"a pas 

 lieu devant renfermer le même nombre de transformations de divers ordres que les 

 groupes de la ligne droite. La proposition ci-dessus fournit une très bon moyen pour 

 juger de la possibilité des groupes. 



Si le groupe n"est pas cyclique ., il doit au moins renfermer deux transformations 



A et B du même ordre n avec des points doubles diflérents. Cette dernière condition 



étant remplie, 



B, ABA-' . . . A''-'BA-"^' 



seront en général des transformations toutes dillérentes. et deux ou trois d'entre elles 



seulement pourront avoir les mêmes points doubles, si A ou une puissance de A permute 



ou déplace circuiairement les points doubles de B. En pareil cas. ces transformations 



auront deux par deux ou trois par trois des points doubles communs. 



. , un 



La groupe renfermera alors au moms «-f 1, -^-f 1, -r-r 1 transformations avec 



des points doubles différents appartenant à la même série , c'est-à-dire, outre celles ci- 

 dessus mentionnées, A, qui, avec ses séries, se compose au moins de 



transformations. 



-1|(«+1), in-l)(~ + l\, ,rt_i)^^.fij 



