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Le nombre de translormalions dans la même série devant être de N, iV, 



n — 1 't '2u ' 



— — N, N doit être égal à ou plus grand que : 



w(«+l), n(n + 2), h(«+3). 



44) Groupes renfermant des transformations dont les points douilles ne sont pas 

 permutés par une autre transformation du groupe. 



Le seul cas possible est celui où le groupe, outre les transformations ci-dessus, 

 renferme des transformations du 3"= ordre dont les points doubles sont déplacés circulaire- 

 ment. On doit alors avoir: j ^^ j 



N n 9 ' 



équation qui est satisfaite par: 



M = 4 et (7 = 2, ou H = 8 et q = 1. 

 On verra qu'il existe réellement un groupe, pour lequel N = 36, ijui reid'erme 

 des transformations du 4'' ordre dont les points doubles ne sont pas permutés, et en 

 outre deux séries de transformations du 3"* ordre dont les points doubles sont à la fois 

 permutés et déplacés circulairement. 



45) Groupes ne renfermant que des transformations dont les points doubles sont 

 déplacés circulairement par d'autres transformations du groupe. 



On trouve que ces groupes ne sont possibles qu'à condition d'être cycliques. 



46) Groupes renfermant trois séries différentes de transformations dont les points 

 doubles sont permutés par d'autres transformations , et en outre des transformations dont 

 les points doubles sont déplacés circulairement. 



Il n'existe aucun groupe fini de cette espèce. 



47) Groupes renfermant deux transformations avec leurs séries dont deux points 

 doubles sont permutés par d'autres transformations du groupe. 



On a l'équation: 



N In 2«! %n^ 9 ' ' ' 



laquelle est satisfaite par » = 3, «1^4, n^^^l et «7 = 0, qui appartiennent à un groupe 

 existant réellement et pour lequel JV=168. (84) 



L'équation est également satisfaite, le terme en n.^ manquant, par w = 4, 

 «j = ,5 et 9 = 2; iV = 360. (86) 



47 bis) Enfin le groupe pourrait renfermer une transformation avec ses séries dont 

 les points doubles sont permutés, et des transformations dont les points doubles sont dé- 

 placés circulairement. 



Il n'existe pas de pareils groupes. 



Nous donnerons quelques exemples comme preuves de l'impossibilité des groupes, 

 lorsque les nombres des transformations dans les séries appartenant au groupe satisfont 

 à l'équation (80), sans cependant que le groupe existe. 



L'équation: j __ , "— ^ ^1 — ^ 9 



N 2n- 2n, 9 



est satisfaite par n = 8, «j = 10, (7 = 1 , N = 720. Le groupe devrait renfermer 36 

 transformations du 10* ordre avec des points doubles différents. On voit alors qu'il 



