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dcvi'iiil cxislci' (l(Ui\ |Kii'('ill('s li-;iiisroi'inali(iiis A cl />, lellcs ([ik.' A'' cl />'■', ipil soiil ijii 

 2'-' ordre, jjci'iiiiilasseiil les püiiils tioiiljlcs de B el de A. .Ni A ni JJ wv. IranslbniieiMjiil 

 alors la même seeliou conique, et le groiijje ne peiil ("'Ire Uni, car, conimc il est l'acilc de 

 voir, les groupes dont aucime des trauslormalions ne transforme la même section cuniijue, 

 sont des transformations des groupes de la lig>ne droite. 



La même équation est satisfaite par ?i = 3, w, = 8, g = 2, N == iW. 



Le groupe doit renfermer seulement !J transformations du 8° ordre avec des points 

 doubles différents, et par conséquent seulement 9 transformations du 2'' ordre. Mais une 

 transformation A du 8" ordre aura alors ses points doubles permutés par B*, B étant 

 également une transformation du 8'^ ordre, et, dans ce cas, A"B'^ sei'a aussi une trans- 

 formation du 2'' ordre, de sorte qu'il y aura 8 transformations de cet ordre dont les cen- 

 tres seront situés sur une des lignes doubles B de A. Mais conmie B a un point doid)lc 

 F situé sur D, D pourra être transfoi'mé en i lignes dillërentes passant par P, et le 

 groupe, contrairement à l'hypothèse, devrait alors renfermer plus de 9 transformations du 

 2" ordre. 



On peut assez souvent employer le raisonnement suivant. La seule transformation 

 qui puisse avoir des points doubles coïncidant avec des points doubles d'autres trans- 

 formations qui n'ont aucun point double commun, est une transformation du 2° ordre. 

 L'axe de cette transformation du 2*^ ordre passe alors par les points doubles commims 

 ci-dessus mentionnés. Si maintenant l'on désigne par P et Q deux points doubles de 

 deux transformations qui n'en ont aucun de commun, et qu'il puisse être prouvé que trois 

 transformations A, B, C du 2^ ordre permutent P et Q, AB et AC doivent être deux 

 transformations du 2'^ ordre dont les axes coïncident. Mais deux pareilles transformations 

 ne peuvent appartenir à un groupe flni. 



On prouvera de la môme manière l'impossibilité d'un groupe pour lequel iV=3G, 

 (jui renferme trois séries de transformations du 2' ordre, deux séries de transformations 

 du 3'= ordre, et où les ordres des transformations appartenant aux dilférentes séries satis- 

 font à l'équation: 



1 n — 1 n — 1 n.^ — 1 q 



~N ^ 2tt ~2m^ 2)12 y 



où n = rtj == n.j = (^ ^ 2. 



48) Pour qu'une transformation ne transforme pas luie section conitpie , il faul 

 que la somme principale M soit nulle. On voit que l'équation: 



ilix' = X 



\fiz' = az 

 ne transforme pas la section conique: 



aai" -\- byz = 0, 

 et qu'une pareille section conique est tangente aux lignes doubles ^ = 0, x = 0, et passe 

 par les points doubles (a; = 0, y = 0), (æ = 0, z = 0). 



') C'est-à-dire la somme des élémeiils du (erme pruR-ipal. 



