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Il est facile de voir que la condition ci-dessus, qui ici s'est montrée suffisante, 

 est également nécessaire. 11 faut cependant se rappeler que la somme principale n'est 

 déterminée qu'à un facteur près, qui est une racine cubique arbitraire de l'unité, de sorte 

 que les transformations dont la somme principale est une quantité réelle multipliée par 

 une racine cubique de l'unité, ne transforment pas non plus une section conique; mais 

 la transformation est alors identique à une transformation avec un terme principal réel. 



49) Dans toute transformation du 2'' ordre, les éléments du terme principal doivent 

 être réels. Réciproquement, cette condition, avec les suivantes, à savoir que chaque élé- 

 ment est le- conjugué de son sous-déterminant, et que la somme principale doit être égale 

 à — 1, est sufflsante pour que la transformation soit du 2" ordre. 



.50) Si un groupe renferme les transformations: 



:Æ' = ax 



= \ßy' = ßy 



a, bç, c 



^ = \f^y' - ßy et 5 ^ 



«3 ^3 C3 



et qu'on désigne respectivement par d et Sp les sommes principales de A et de A^B, 

 on aura: dPa^ -'^ ß^b^^ y^c.^ = Sp. 



En supposant que A n'est pas une transformation perspective, et en éliminant Oj, b^, e.^ 

 entre les 4 équations qui donnent les valeurs de Sp, Sj+i, Sj,^-2, «p+s, il vient: 



Sp — Sp+s = d Sp^i — d Spj^2- (90) 



Si B est du 2'^ ordre, on doit, suivant le g 49, avoir Sp = s„_p. 



51) Formons maintenant les groupes qui existent réellement et commençons par 



ceux du 3"= ordre, en rappelant qu'un groupe est du même ordre que l'ordre le plus 



élevé de ses transformations. Nous laisserons de côté les groupes cycliques et ceux dont 

 aucune des transformations ne transforme la même ligne droite. 



Nous supposons que le groupe du 3° ordre renferme deux transformations , dont 



une, A^ du 3'= ordre et l'autre, B, du 2'' ordre, et que tous les coefficients de B sont 

 réels. On a alors: 



[ (J-x' =-- œ 



^ = \i^y' = '^y 



\liz' = as 

 — 1-1-2 1/3 



B 



«1 



èi Cl 



^1 



62 c. 



c, 



''•i ^a 



On doit donc avoir: 



et par suite:' 



"1 -r "2 

 «1 + «^'2 



= b. 



'3 

 + «C3 



+ ac.. 



c. = 



= 

 = 



Aucune des transformations du groupe ne transforme la section conique: 



Æ'- 4- 2î/Z = 0. 



