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Luc ligne droite pouvant par inversion et projection être iranslorméc en une section 

 conique arbitraire , on voit qu'à cliaque transformation linéaire qui ne transforme pas une 

 ligne droite, correspond une transformation qui ne transforme pas une section conique. 

 A chaque groupe fini de la ligne droite correspond un groupe du plan , dont les trans- 

 formations ne transforment pas une section conique et ne peuvent qu'en transformer 

 chaque point en un nombre fini de points, ^lais le groupe doit alors aussi être fini pour 

 le plan. 



Le groupe que nous venons de déterminer correspond au groupe létraédrique , et 

 s'appelle le groupe létraédrique du pian. 



.52) Passons maintenant aux groupes du 4^ ordre. En supposant que le groupe 

 renferme deux transformations ^ et iî de la même forme que dans le ?. .51, avec la seule 

 différence que A est du 4^ ordre . nous aurons pour B. AB. A-B, A^B une colonne de 

 sommes principales qui sera ou: 



ai 



a, + 6, + C3 = — 1 



bi 



a^ — b„ — c.j = — 1 





aj -\-ib.2 — l'Cg = (1 





Oj ^ib^—iCj = dP 





«1— è, — C3 =1 



ou: 



Qi — i.^ — C3 =0 





«1 — ib.^ -T-ic^ = 



ni'i ri - 



— 1-4-2 V% 



rt, —ib^^icj = dP. 



53) Dans le cas de ai, on a : 



a, = 0, 6, = Cg = — |, i, = Cj = j/y , c., = \. 

 M ^ ni S ne transforment x--{-2yz^(). Le groupe formé par A e\ B est une 



transformation du groupe octaédrique. et s'appelle le groupe octaédrique du plan. 



54 1 Dans le cas de bl. on a: 



1 , — l-rl'ï _i_i/3 



«I = -y, i. = 1 , «3=^ ^ 



, t/3-fl/-3 1/3-1/3 ]/3 



En désignant par C ^^ 1 que C est une transformation identique, on aura: 



^^ = 1. [AB)' = 1, [A-^Bf = 1, B' = 1 (a). 

 Supposons qu'on a formé la transformation: 



BAi-BA'iB. 

 ce produit peut, dans tous les cas, être réduit à renfermer un facteur B plus petit. Si 

 /> on q est égal à 2. on peut poser; 



BA'^B = A-'BA''- 

 et l'on a: 



BA'^BAiB = A'^BAi+^B. 



Si p et 9 sont l'un et l'autre égaux à 1 ou à 3, la seconde équation [a] donnera: 



BATBAfB = A^-fBA^-r, 



Si p = I o et l' = I 1 , ôii a'ira : 



BApBAiB = AiBAiBA^B = AiB A'i+^BA^. 



