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On voit par là que tout produit de transformations qui renferme plus de deux 

 facteurs B peut être réduit à renfermer au plus deux facteurs. Toutes les transformations 

 du .irroupe sont comprises dans les formes A"', A^BA''. Af{ABAB)Ai, où ABAB a 

 la forme: 



!_1 y ß'-^^ jn 



1/ 3 — y 3 ( V2 —iV2 \ _ 1 , 3 + 1/3 A' 2 -h iV2 \ 



/3 



l/3-r3 /l/2+il/2\ -1-1/3 .1, 



^^^~\ 2 j' 4 ' ~'V 8 



1 /3 4- 1/3" /1/2 - i 1/2 \ . I /T — 1 + V'3 



-^^— 8^-1 2 j' ^/t' —4 



Ce groupe est celui qui est mentionné au 'i 44 ; il renferme 36 transformations. 



55) L'équation (90) montre que le groupe du paragraplie précédent doit être un 

 sous-groupe du groupe du (S<^ ordre mentionné au ? iA , en tant que ce dernier existe, 

 et il est facile de voir par là qu'il n'est pas fmi. 



Par contre, le groupe du ?. 54 est un sous-groupe du groupe dont il est question 

 au ? 42; car en ajoutant aux transformations ci -dessus mentionnées du groupe du g 54 

 une transformation C de la forme : 



i fix' = X 

 C ^ > fiy' = pz où pq ^ —l 



[^/ = qy _ •_ _ 



r'A A in , ■ y iV2 ^ V2 ^ iVî —V2 ., . , 

 on aura alors CA ^^Å~^L et. si Ion pose ^j = ^ et ç = , il viendra 



CBC-' = ABAB. ~ 



On peut toujours, dans un produit A^C'^B . . . faire passer C h la première place, 



et on voit alors que, si le groupe du g 5 i renferme les transformations Tj, 2\ . . ., celui 



dont il s'agit ici renfermera les transformations T^, T^ . . . C7\, CT^ . . .. en tout 72 



transformations. 



56) Nous arrivons maintenant aux groupes du 5^ ordre. Ils peuvent renfermer: 



a) des transformations du 2'^, du 3" et du 5^ ordre, ou 



b) des transformations du 2'=, du 3', du 4= et du 5'' ordre. 



Dans le premier cas, en supposant toujours que les groupes renferment deux 

 transformations A et B, A du 5*^ et B du 2*^ ordre, on peut avoir, suivant (90), s étant 



égal à 



ou: 



. et^ài±^ 



ou: 



s, = s, = 



1-1/5 



= 0" 



0, 



On obtiendra le même groupe, soit qu'on prenne la première ou la seconde colonne des 

 sommes principales. En prenant la seconde, on trouve: 



1/5 ^ 5 + 1/5 , 1 /T 5 — 1/5 



1 



«1 - 5 , "2 - -3 - 10 



Vidcnsfc. Selsfc. Skr , 6. Række, naturvîdensk. og mathom. Afd. V. 2. 



1/|. 



10 



30 



