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Nous montrerons maintenant que le groupe est Qui. Si l'on a un produit: 



APBAiBA'-BA' .. . 

 on peut d'abord supposer que deux exposants qni se suivent, q ei r, ne sont pas égaux, 

 puisque le nombi'e des facteurs du produit pourrait alors être réduit, A'"B étant au plus 

 dn 5'= ordre. De plus, à cause de la relation: 



A^BA'^BA'^ = BA'^B 

 qui est une conséquence de 1.4^5)^ ee= 1 , on peut faire disparaître tout facteur A''^ placé 

 entre deux facteurs B, pour que les exposants g et r puissent l'un et l'autre être con- 

 sidérés comme différents de 8. 



Nous pouvons à présent montrer qu'aucun produit ne peut renfermer plus d'un 

 certain nombre de facteurs sans être réductible. 



En effet, si un produit renfermait une infinité de facteurs sans pouvoir être réduit, 

 les facteurs A, A'^, A^ devraient s'y trouver, car s'il ne contenait que deux de ces fac- 

 teurs, il serait réductible, puisqu'on a {A^BAiB)"' =h 1, si m est au plus égal à .5. 



Si le produit n'est pas réductible, il doit donc renfermer un des facteurs suivants: 



1) BA'BA-'-BAB 



2) BA^BABA^B 



3) BABA^BA'B 



4) BABA'BA'^B 



5) BA^-BABA'B 



6) BA^BA^BAB. 



En remplaçant BA^B par A'^ B A'^ B A'-^ , on voit de suite que 2) et 5) peuvent être 

 réduits à renfermer un facteur B de moins. 



Si dans 1) on fait précéder BA* d'un facteur BA\ l doit être égal à 1, car on 

 voit immédiatement que l ne peut être égal à 4, et s'il était égal a 2, on aurait: 



. . . BA''-BA'BA''BAB . . . = BA'BA'BA^BA'B . . . 

 qui est réductible. Il faut donc que l = 1, si quelque facteur BA' précède BA*, et on 

 aura alors la transformation : 



. . . BABA'BA-^BAB . . . 



produit qui, à sou tour, peut être précédé d'un facteur BA'\ où k =- j:; mais, dans les 

 deux cas, la transformation est réductible. On a en effet ou: 



...BA^BABA'BA'BAB... = BA^BABA^BA^BA'B... = ...BA^BA'BA'^BABA'B... 

 ou bien: 



. . . BA-' B AB A^ BAOBAB ... ^ ... A'BA'^BA'BA*BA-BAB ... 



Dans les deux cas, on voit que les transformations sont réductibles. 



Par conséquent, 1) ne peut être précédé de facteurs renfermant B autres que BA, 

 sans que la transformation soit réductible. On voit de même que 3) ne peut être suivi 

 de facteurs renfermant B autres que AB, comme aussi qu'aucun facteur renfermant B ne 

 peut être ajouté avant ou après 4) ou 6) sans que la transformation soit réductible. Mais 

 il suit de là que le groupe est fini. 



On trouvera p. 197 du texte danois un certain nombre de relations qui servent à 

 réduire des produits de transformations à leur forme la plus simple, et p. 198 luie schéma 



