1 sin berømte Afhandling «über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse»*) 

 har Rieman n taget som Udgangspunkt den Euler'ske Ligning-) 



2V./7(1— pO = 1, (1) 



hvor Summen 2' omfatter alle hele Tal n, og Produktet 77 alle Primtal p. 



Fra dette Udgangspunkt fører Analysen ikke til den direkte Bestemmelse af Funk- 

 tionen f)(x), Mængden af Primtal op til æ (æ inkl.), men nærmest til en anden Funktion ä{a:], 

 for hvilken Dr. J. P. Gram^) har indført Betegnelsen «Antallet af dividerede Primtalpolenser», 

 og som er defineret ved Ligningen 



»{a-) = 6(æ) -f- \e(x^ + \H(xh + ... . (2) 



Det er denne Funktion , som Riemann har søgt at bestemme under analytisk Form. At 

 man fra denne atter kan komme tilbage til Funktionen Oy.r) er ogsaa paavist af Riemann, 

 men det maa dog bemærkes, at enhver analytisk Fremstilling af {^[æ] sandsynligvis altid, 

 i Modsætning til den taltheoretiske exakte Bestemmelse, maa gaa ud fra den øvre uendelige 

 Grænse for Talrækken og herfra til en approximeret Bestemmelse for de meget store 

 Værdier af x, hvorved man da udelukker sig fra Bestemmelsen af t^(x] for de smaa Tals 

 Vedkommende og saaledes fra Bestemmelsen af d[x) ved Hjælp af i^{x]. Denne sidste 

 Funktion kan imidlertid ogsaa, ligesaa vel som selve Primtalmæugden , fremstilles ved 

 Tavler, dannede med Optællingen af Primtal som Grundlag, og det kan derfor ogsaa praktisk 

 være tilstrækkeligt at bestemme d-(x]. 



Skjondt Riemann's Bevis for den af ham udviklede analytiske Formel for ê[x] ikke 

 kan godkjendes, er der dog resulteret det blivende Udbytte af hans Arbejde, at det fundne 

 Udtryk for den aperiodiske Del af ë{x], nemlig Integrallogarithmen Li[x], i det mindste 

 inden for de Grænser, hvortil vi kjende Primtalmængden, har vist sig praktisk fuldkommen 

 tilfredsstillende og alle andre tidligere ad empirisk Vej fremstillede Formler langt overlegen. 



') MouatsberklU d. K. Acad. d. \V. zu Uerliii, 3. Nov. 1859, S. (571. 

 '') Euler: Inti'Oductio in Analysin Infinitorum Ï. 1. p. 237. 174S. 

 ') Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, II. 6. S. 185. 



55' 



