430 



iM.'llc sidsU- har iiaviili.u' VirruL paavisl al' ('■ I a i s li c r 'l l'nr Iimt .MKIIMI iiiillil !l 

 Milliuiiüi' ui^ 1(11' 10 og- 100 Millioner cfler de ai'Meis.si'l lieregiiede l'riintaliniun{j;(ler-). 

 Al'viijrlscrne ere rremsUllede gralisk, og l'or den llieinanii'ske I'orinel.s Vedkomiiieiidc viser 

 ])iagruminel en ligelig Fordeling af i)ositive og negative Alvigelscr. For de linjere Tals 

 Vedkommende synes d i sse Afv igelser at udvikle sig lil e f te rliaanden 

 mere og mere regelmæssige, lange Perioder. 



Det maa herefter blive den naturlige Gang i den anaflytiske Undersøgelse over 

 I'rimlalmængderne at vælge det samme Udgangspunkt som lliemann, nemlig den Euler'ske 

 Ligning (I), fordi dette umiddelbart forer til Funktionen iJ(.t), hvis aperiodiske Del praktisk 

 har vist sig at være af en simpel Form, at søge denne aperiodiske Del analytisk bestemt 

 saa nøjagtig som muligt, og endelig at søge den periodiske Del af a{æ) saaledes bestemt 

 ved Rækkeudvikling, at de Led, som ere af højeste Orden med Hensyn til æ-, fremtræde 

 i første Kække, for saaledes om muligt analytisk at paavise de ovenfor omtalte lange 

 Perioder, som fremtræde ved de meget store Tal. Det er denne Gang i Undersøgelsen, 

 jeg her har fulgt. 



Vi ville begynde med en Udvikling af Formen 



(2'- + S-- -f i'- -\-...r = a\2, 2'- + «'(3) 3'- + . . . a' m æ'' + . . . , (3) 



hvor r er en vilkaarlig Størrelse, *• et helt Tal og «'(.r) en Koefficient, som vil angive 

 Antallet af de forskjellige Maader, paa hvilke x kan dannes ved Multiplikation af s hele 

 Tal, heri ikke medregnet Tallet I. 

 Sættes endvidere 



A'iæ) --- a'{2) + a'(3) + . . . . «"w , (il 



med hvilket sidste Led Rækken slutter, vil man have 



A'{x) — A'(æ~l) = of{x). (5) 



Ved at tage Logarithmen af den identiske Ligning (1) og benytte Rækkeudviklingen for 

 log(l+?/) efter stigende Potenser af ?/, uden Hensyn til Rækkens Konvergens, erholdes 

 ligeledes identiske Udviklinger^), som for r = O føre til den bekjendte Ligning 



,(.)=^>_^ + i5^'_.... (6) 



') James Glaisher: Factor Table for the sixth Million. London 1883. 



^) Seneve har Meissel i Mathni. Ann. Bd. 25, p. 251 beregnet Primtalmængden indtil 1000 Millioner. 



Hans Resultat (50 847 178) er kun 23 Enheder højere end det al Gram el'ter Riemann's Formel 



beregnede. 

 ') Jvf. Prof. Jul. Petersens Bemærkninger til Grams Alhandling. Vid. Selsk. Overs. ISSi, S. 14. 



