19 445 



Det Resultat, som ovenstaaende Regning har ført mig til, kan i del væsentlige naaes 

 ved en anden Fremgangsmaade, som jeg her sl^al meddele, da det forekommer mig, at der 

 ved denne kastes et nyt Lys over Spørgsmaalet. 

 Der sættes 



( I + 2M- S"- + . . .)^ = 1 + f (2) 2'- -1- . . . r'W *'■ + . . . , (29) 



hvor y\x) bliver Antallet af Tilfælde, hvori æ kan opløses i s l'^aktorer, heri medregnet 1, saml 



G'iw) = 1 +yH2)+ ...fW. (30) 



Man kan beregne yH^) af 7-*"^^) ved at summere alle de Tilfælde, som svare til 

 den ny tilkommende Faktor, og erholder saaledes 



idet Summen udstrækkes til alle Divisorer d i x. Tillige er, med den Legendre'ske Be- 

 tegnelse E for det største hele Tal i den efterfølgende Brøk, 



hvorved altsaa erholdes 



og heraf atter 



q=i\ q q J 



j-V) - I[E-~E- ^ r'-'c/), (31) 



?=i\ q q I 



G'(w) = 'T E—-f-H,) . (32) 



2 = 1 q 



Disse Udtryk kunne bringes under analytisk Form ved Ligningerne 



r r 1 "1 = 2 COS -i ;r-- 



E— — E- -= I '- , (33) 



q q m=i q 



æ I "' = 1 sin 2^^ 



HI (X-^^) 



q ~ '« = 1 2 g sm ;r - 



hvis Rigtighed let konstateres ved Udførelsen af Summationerne. 



Vi ville nu nærmere undersøge ;-'W under den saaledes fremkomne Form, nemlig 



c mx „„o "'^ 



q=x m=q COS 2.Tt m=x q=x COS -i TT — - 



f(x) =11 "-f-if^q) = Z I '-f-hi). (35) 



j=l m=i q m=i q=m q 



i det sidste Udtryk sættes 



q = qiq-i---qs~i, 



og Summationen med Hensyn til q forandres til en (s— 1) dobbelt Summation med Hensyn 

 til Cl, ^2, •■•9s-i paa en saadan Maade, at alle de Tilfælde, som tilfredsstille Betingelserne 



57* 



