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 par trois points fixes. Donc , la sphère variable qui touche 

 trois sphères fixes. , en touche une infinité d'autres fijrmant 

 avec les trois premières une série dont les sections communes 

 sont concourantes. 



JJaoce ou la droite de concours des sections communes 

 appartient aussi aux plans de tous les cercles de contact^ et 

 contient les foyers des sphères tangentes prises deux à deux. 



Réciproquement la sphère variable donne une série de 

 sphères touchées par la première série suivant une suite 

 de cercles dont les plans concourent en une droite qui 

 contient les foyers des sphères de la première série, prises 

 deux à deux (i). 



Les théorèmes qui précèdent sont plus que sufEsans 

 pour résoudre le problème de la sphère tangente à quatre 

 autres. M. Hachette se trompe lorsqu'il dit que le nomJbre 

 ordinaire des solutions est de trente-deux (2). Il n'est 

 que de seize, ainsi que je vais le prouver. 



D'abord les centres des sphères touchées n'étant pa» 

 dans un même plan, on pourra les regarder comme les 

 sommets d'un tétraèdre. Les foyers tant internes qu'externes 

 des quatre sphères prises deux à deux seront au nombre 

 de six dans le plan de chaque face du tétraèdre ; et ils y 

 seront distribués trois à trois sur quatre droites. Mais 

 chaque foyer étant commun à deux faces , le nombre 

 total des foyers n'est que de douze. 



En second lieu , quelle que soit Fespèce de contact de 

 la sphère tangente aux quatre sphères données, les six 

 foyers qui correspondent aux quatre points de contact 

 pris deux à deux , seront toujours dans un même plan» 



(i) Ces résultats sont i]idiç[ués par M. Dupin dans la correspondance 

 sur l'école polytechnique , tome s , N." 5 , page 4*o. 



(a) Corresp. sur l'école polytechnique, tome i.«f, N.° s, page s8. 



