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 En effet, les trois foyers relatifs à trois des quatre sphères- 

 appartiennent à une même ligne droite^ placée dans une, 

 des faces ;du tétraèdre; et comme les combinaisons trois 

 à trois des quatre sphères données ont l'une avec l'autre 

 deux, sphères communes , les six foyers corrélatifs seront 

 aux points d'intersection de quatre droites situées chacune 

 dans une des faces du tétraèdre. Ils seront donc aux points 

 d'intei-section des six arêtes du tétraèdre avec un même 

 plan que nous pourrons appeler plan focal. 



Maintenant nous allons prouver qu'il ne peut y avoir 

 que huit plans pareils. Si l'on ne considère que les six 

 foyers internes et externes d'une des faces du tétraèdre,:. 

 un quelconque de ces six foyers est sur deux droites 

 dont chacune passe par deux autres foyers. Or le premier 

 foyer est commun à une autre face du tétraèdre , et il 

 est également à l'intersection de deux des quatre droites» 

 qui s'y trouvent. Combinant les deux droites de la pre- 

 mière face avec les deux droites de la seconde , on obtient 

 quatre plans dont chacun passant par cinq des foyers 

 corrélatifs d'un même contact doit contenir le sixième. 

 Ainsi par chacun des six foyers de la première face il n€' 

 passe que quatre plans focaux. Mais chacun de ces plans 

 est commun à trois foyers de la même face. Donc leur 

 nombre total n'est que de huit. 



Il est facile de prouver que chacun de ces huit plans 

 ne peut, répondre à plus de deux contacts. En effet, la 

 sphère! variable tangente à trois des quatre sphères données 

 touche chacune de ces i sphères données suivant un cercle. 

 Or. si l'on forme une seconde combinaison avec les quatre 

 sphères prises trois à trois, on obtiendra d'autres cercles 

 de contact ; et copme les deux combinaisons ont deux 

 sphères communes , il est évident que si les deux cercles 

 de chacune d'elles se coupent , les deux points d'intersection 



