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 seront les seuls points de contact possibles pour chacune 

 de ces sphères , relativement aux foyers que nous avons 

 choisis. Mais dès que les foyers sont donnés , un point 

 de contact détermine les trois autres de la sphère tangente. 

 Donc chaque plan focal ne peut répondre à plus de deux 

 sphères tangentes aux quatre sphères données. 



Pour que lies deux cercles de contact n'aient aucun point 

 commun ,• ou qu'ils n'en aient qu'un seul, il faut que le 

 sommet d'un des cônes tangens suivant ces cercles soit 

 intérieur à l'autre cône, ou qu'il soit sur la surface de 

 celui-ci. Or ces sommets sont dans le plan focal relatif à 

 l'espèce de contact demandée. Donc ce plan coupe les 

 quatre sphères données, ce qui n'est pas le cas . ordinaire ; 

 de plus , il y a d'autres conditions qu'il est inutile 

 d'examiner (i). 



On voit d'ailleurs que l'espèce de contact des trois 

 premières sphères étant déterminée , le contact est im- 

 possible pour la quatrième sphère lorsque celle-ci est 

 renfermée dans une des sphères de la série qui comprend 

 les trois premières , et dont les sections communes sont 

 concourantes.' Le contact est ëgaleinent impossible lorsque 

 la quatrième sphère, au lieu d'être renfermée, renferme 

 au contraire celle dont nous venons de parler. Lorsque 

 la quatrième sphère touche intérieurement une des sphères 

 de la série, sans être renfermée en entier dans aucune 

 des autres , il n'y a qu'un contact. Enfin on arrivera à 

 une position de la sphère qui fournira quatre contacts. 

 Or il n'y a que quatre espèces de contact pour les trois 



'-■'•' <'■' —^ ■. ■ ■ . ■ ■■■ -, W-g ■■ ■ ■ —T: 



(i) Nous remarquerons seulement que le plan focal coupe les quaU^ 

 sphères proportionnellement, et que, pour qu'il ne corresponde qu"à i^n0 

 sphère tangente, il faut qu'il passe par les, quatre points de. contact ,,,et: 

 qu'il coupe les quatre- sphères suivant quatre cercles susceptibles d'élrc 

 touchés par uu seul. 



