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 fjremières sphères 5 chaque espèce étant indiquée par une 

 des quatre droites qui contiennent trois foyers , et donnant 

 naissance à une série différente : ce qui montre de nouveau 

 que le nombre ordinaire des contacts est de seize. 



Si une des sphères se réduit à un point , il n'y a plus 

 que huit solutions et quatre plans focaux. Si deux sphères 

 se réduisent à des points, il ne reste que quatre solutions; 

 enfin , pour trois points et une sphère il n'y a que deux 

 solutions. 



La sphère variable assujettie h couper deux sphères fixes 

 smvarU leurs grands cercles ^ passe par deux points fi^es 

 placés sur la ligne des centres des sphères fixes. Ce théo- 

 rème nous apprend à mener une sphère qui coi^e quatre 

 sphères données suivant leurs grands cercles. , 



La sphère variable assujettie à couper deux sphères fixes 

 sous des angles constans est tangente à deux autres sphères 

 fixes dont les centres sont sur la ligne des centres des sphères 

 coupées. Ce théorème conduit à la résolution du problème 

 suivant : Mener une sphère qui coupe quatre sphères données 

 sous des angles également donnés. On voit que la sphère 

 demandée est tangente à douze sphères dont il suffira de 

 choisir quatre pour résoudre le problème. 



Si une sphère variable coupe trois sphères fixes sous des 

 angles égaux (i) , mais indéterminés (2) , son centre est 

 constamment dans un même plan. En effet , les trois cercles 



.(i) Un des angles peut être supplémentaire des autres. 



(s) Si l'on donne aux angles d'intersection une grandeur déterminéei 

 la spLère variable touchera constamment quatre sphères fixes dont les centres 

 seront dans un même plan. Son centre parcourra donc une section conique 

 commune aux quatre cônes droits qui passent par ces cercles et qui ont 

 leurs sommets aux centres des sphères touchées. La même chose a lieu 

 pour le cas particulier d'une sphère tangente à trois autres. 



Celte section conique est commuue , non-seulement aux quatre cônes 

 dont nous avons parlé , mais encore à une infinité d'autres qui ont leurs 



