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quî ne diffère du second des deux dont j'ai parlé , que par 

 quelques changemens dans la rédaction et dans les notations. 



N." 3. — Résultats déjà obtenus par des considérations 

 géométriques. 



Dans le mémoire sur les courbes exponentielles que j'ai 

 déjà cité ( Voyez ci- dessus N.° i ) , j'ai énoncé (N." i4) 

 les propositions suivantes : 



I. Dans tout, système de logarithmes dont la base est 

 positive f tout nombre positif a un logarithme réel. — Quant 

 aux nombres négatifs , ils se partagent en deux classes 

 telles que tout nombre de l'une a un logarithme réel , le 

 même qu'il aurait s'il était positif; tandis que les nombres 

 de l'autre classe n'ont que des logarithmes imaginaires. 



II. Dans tout système dont la base est négative , ily a une 

 moitié des nombres qui, avec quelque signe qu'on les 

 prenne , ne sauraient avoir de logarithmes réels. — La 

 seconde moitié se partage encore en deux classes telles 

 que chaque nombre de la première a un logarithme réel 

 quand on le prend positivement et n'en a pas lorsqu'on le 

 prend négativement ; tandis qu'au contraire chaque nombre 

 de l'autre classe a un logarithme réel quand on le prend 

 négativement et n'en a pas lorsqu'on le prend positivement. 



III. Dans tous les cas , entre deux nom,bres quelconques 

 dune même classe ( à l'exception des nombres positifs con- 

 sidérés dans un système à base positive ) , quelque peu diffé- 

 rens qu'on les suppose , il ne saurait y avoir continuité , 

 puisque l'on peut toujours assigner entre eux autant de nom- 

 bres que Von voudra de la classe opposée. 



Ces propositions, qiii suffisent déjà pour résoudre une partie des 

 difficultés dont j'ai parlé ci-dessus (N.°2) , sont, comme on le 

 verra par ce qui suit , des conséquences particulières de la théo- 

 rie analytique que je vais établir directement. 



