ÜBER DIE EIGENSCHAFTEN DER PERIOD. NEGATIVEN KETTENBRÜCHE. 5 
wo 8,4;,49...ü, ganze positive Zahlen sind und der cs credi 
Quotient z, in die Form 
VA t Im 
fua uL uA 
gebracht werden kann, so dass Im und D, ganze positive Zahlen sind. 
In der Folge werde ich, zur Abkürzung, Im den Zähler und Dm den 
Nenner des vollständigen Quotienten Zm nennen. Man weiss auch dass 
Im = + (A.aı, Ge, di, Am-ı — 4, Gn. 0, On- 1) 
B D,,— + (a, a2 — A. On, Qu)” 
wo das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem der Theil- 
nenner a, eine gerade oder ungerade Stelle in der Beie Em U 
einnimmt. ` 
Bezeichnet ge A3 die grite - in 5, enthaltene ganze positive Zahl, 
VA + Im 
Si 
so ist demnach Nun kann man wieder 
AT In e. 
Set = ei setzen, so dass Im}: und Det: ganze positive Zah- 
len sind, und indem man diese Werthe statt Se +1 in die vorhergehende 
Gleichung setzt, zerfällt dieselbe in zwei, nemlich 
1) Im + lapi = — Am+1Dm 
2) A = dn» -p1 D, In4 i + Dm De E In: 
Aus der Verbindung dieser zwei Gleichungen folgt 
3) 4 lapi Ec D D» 4 1 
hieraus erhält man 
ES pc dE — Da+) 
und mit Rücksicht auf Gleich. 1) 
4) Dm+2 = ampe ndi — Im+2) + Ds 
Die Gleichung 3) zeigt, dass Im}1ı LA. also höchstens „+1 =a, . 
und da am+ı mindestens — 1 ist, so folgt aus Gleich. 1) dass D, höch- ` 
stens — 2a. Dieselben Grenzen gelten bezüglich für jedes 7 und jedes 
D; da nun aber in dem unendlichen Kettenbruche unzühlig viel voll- 
ständige Quotienten vorkommen, so müssen nach einer endlichen Reihe 
von Werthen, die der vollständige Quotient annehmen kann, dieselben 
zusammengehórenden / und D, die schon einmal vorkamen, wieder vor- 
