ÜBER DIE EIGENSCHAFTEN DER PERIOD. NEGATIVEN KETTENBRÜCHE. 7 
b, bii 
b, bm 
E» KSC? also Ce 
b, H E 
ferner auch CC im k m > A, so ist auch im 
zt 1 
positiv, mithin sind Ze und d, ganze positive Zahlen. 
VA T ini 
gn A1 C 
Setzt man Am = De Li — und 41 = so dass 
1 
Um+i 
mithin auch Ze A. 3 und dm+ı ganze positive Zahlen sind, so findet man 
hieraus 
} 5) im + imp i = Dg pida 
6) A = im+ı — dm dn i 
und aus diesen Gleichungen ergiebt sich 
7) Am +2 = Be +2 (im +2 — fe EA + dm 
ebenso wie die Gleichung 4) aus 1) und 3) abgeleitet wurde. 
Die Gleichung 5) entspricht der Gleichung 1) und stimmt in der 
Form vollkommen mit derselben überein; die Gleichung 6) entspricht 
der Gleichung 3), unterscheidet sich aber von ihr durch das Zeichen 
des Produktes der Nenner der zwei aufeinander folgenden vollstündigen 
Quotienten, welches dort positiv hier negativ ist. In Folge dieses Um- 
standes kann man daher aus der Gleichung 6) nur eine untere Grenze 
für £».L; ableiten, sie zeigt nemlich dass Ze 3 . YA also mindestens 
—a+1=b ist, eine obere Grenze kann aber daraus nicht,.wie dies 
bei der Gleichung 3) der Fall war, abgeleitet werden. Damit fällt aber 
auch die Möglichkeit weg, in ähnlicher Weise, wie es Lagrange bei 
dem positiven Kettenbruche, welcher YA ausdrückt, gethan hat, zu 
zeigen, dass auch der entsprechende negative Kettenbruch periodisch 
ist. Indessen findet diese fundamentale Eigenschaft wirklich statt und 
kann auf folgendem Wege nachgewiesen werden. 
4. 
Wenn a, a, a2... und eo, @... ganze positive Zahlen sind, so 
kann bekanntlich die Gleichung 
a--1 zex--1 
eil ` api 
