ÜBER DIE EIGENSCHAFTEN DER PERIOD. NEGATIVEN KETTENBRÜCHE. 35 
ist, habe die Form (a, o, 45...) Ist nun g = m; — 2m}, so muss, wie 
oben gezeigt wurde, b, 7» 2 seyn, dieser Theilnenner muss also aus einem 
'Theilnenner a; des positiven Kettenbruches entsprungen seyn, welcher in 
einer ungeraden Stelle steht, so dass b, — a&-1-2. Alsdann ist ($. 4) 
(b, b, va bu- 1] = (a, Gr... 4-1) 
(b, by... 0, — 1] = la, a...) 
und b, bui = a, a&-1; br; bu-1 = Q1,@-ı; ferner a, a, der Zähler, aj, o 
der Nenner des reducirten.Bruches, welcher den Werth von (b, b, ... 5, — 1) 
b, bu i: 
ausdrückt. Aus SE — ne es ie 
folgt aber b, bu A a ss, E dh-1 
bi, bu ou, Q4 + 04, h-i 
also m! — bh. b, — a, ah F a1, a,-1, zugleich ist mg = bi, b,-1 = di, ah- i, 
also q = (a, an+ a, a-ı) — 2 (a, an -1)? 
Wäre nun ausserdem g = P — 2L, so müsste auch b >2 und 
mithin aus einem in ungerader Stelle stehenden Theilnenner a; des positiven 
Kettenbruches entsprungen seyn. Man fünde also durch Wiederholung 
der vorhergehenden Betrachtung h —m,.a--a,8;-:1; ly— a4,ai-1 und 
(m, an+ a, a4-1? — 2 (a, 0-1) = (m. aid- ai, ai- 1? — 2 (a, ai-1? 
d. h. 
40) «a, aj + Zo, o. o, d4-1 — 41, ai. = m,a; 4-2a;, Gi. a1, di-1 — $1. Ai-i 
Diese Gleichung kann aber nicht bestehen, wenn nicht À— i also k= u 
ist. Ist nemlich nicht k= i, so sey h die grössere der zwei Zahlen A 
und i Im günstigsten Falle wäre also  — h — 1 und o, aj = a, a-1; 
a, di-1 = @,@-2. Nun ist aber (o, of = (a.a, a4-1 + a1. 04-2). 
also selbst im  ungünstigsten Falle, wenn o — 1 noch immer 
(a, ap)? > a; 04-1 2a, 04-1. gr, 44-2 und um so mehr > a, ai Zem, di. 1, Ai-i, 
mun ist auch di, 44.04; @h-1 > 0. oi, also kann die Gleichung 40) nicht 
bestehen. = 
E2 
