148 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



« 1° n funciones z de m variables independientes x ; 



« 2° Todas las funciones obtenidas operando sobre las z por diferenciación, y por 

 procedimiento A dado de antemano (A, por ejemplo, comprende todas las opera- 

 ciones racionales, efectuadas también sobre las x). 



« Sean : G un grupo de transformaciones operadas sobre los dos miembros 

 de S, y íi una expresión construida sobre las x y los miembros del cuerpo, de 

 iin modo B dado fpor ejemplo, racionalmente). Se puede buscar un G que posea 

 las propiedades siguientes : 



« 1° Toda expresión ü. invariable respecto de G, es susceptible de expresarse 

 con las X de un modo C dado (por ejemplo, n es racional, meromorfo, unifor- 

 me, etc.) ; 



« 2° Toda expresión o. susceptible de expresarse del modo C es un invariante 

 de G. 



« G es, según el caso, el grupo de racionalidad de meromorfía, monodro- 

 mía, etc. La estructura de G proporciona la naturaleza íntima de las funciones z 

 y los elementos para una clasificación de las trascendentes z, fundada en las pro- 

 piedades de los grupos. 



« Las relaciones (sistema H) que ligan miembros del cuerpo S, ya entre sí, ya 

 á las m variables s, son ecuaciones, diferenciales para m = 1, de las derivadas 

 parciales para m > 1. Las z son las integrales del sistema H y la noción de gru- 

 po penetra profundamente en el problema del cálculo integral. 



« Comienza M. Drach recordando los principios, de un modo elegante y ori- 

 ginal. Luego escoge el caso en que m = ?i + 1, y en que el sistema H se reduce 

 á una ecuación h lineal, homogénea, del primer orden, con coeficientes raciona- 

 les. Los procedimientos A y B son racionales. Las funciones z son n soluciones 

 distintas de h. Si se considera las z como coordenadas en un espacio de n dimen- 

 siones, G es el grupo de las transformaciones puntuales en dicho espacio. Estudia 

 M. Drach el grupo de la racionalidad. Sigúese paso ¿i paso la marcha de Galois 

 (formación de la resolvente, etc.)' Esto lleva á la investigación directa de las inte- 

 grales racionales, problema muy arduo. 



« Escoje M. Marotte el caso en que m =: 1 y en que el sistema A se reduce á 

 una ecuación h diferencial, lineal, homogénea de orden n, con coeficientes racio- 

 nales. Los procedimientos A y B son racionales. Las z son las n funciones de un 

 sistema fundamental de integrales de h. Las transformaciones de G son las sus- 

 tituciones lineales homogéneas, con coeficientes constantes (colineaciones del 

 espacio á n dimensiones) que sufren las z cuando x viaja en una región de su 

 plano, por ejemplo, alrededor de un punto singular. Búscase los puntos de mero- 

 morfía, racionalidad, monodromía, etc., para n = 2, 3 y 4. Intervienen las inte- 

 grales cuya derivada logarítmica es algebraica y las ecuaciones diferenciales de 

 M. Painlevé, en que la integral general contiene de un modo conocido los pará- 

 metros arbitrarios. 



« Como se ve, consiste el fondo de las cosas, en las investigaciones de los se- 

 ñores Drach y Marotte, en hacer aprovechar al cálculo integral de los datos regu- 

 larmente completos que se poseen sobre ciertas categorías de grupos. 



« Complácese M. Drach en remover las ideas generales, y lo hace con elegan- 

 cia. Pero, no le es posible, bien entendido, recorrer el vasto dominio 'en que 

 penetra. Ocurre á menudo que sólo pueda encontrarse, sobre una misma cuestión, 

 un simple programa de investigaciones. El autor mismo lo reconoce. 



