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ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



3° La recta PA, ó sea a', es la po- 

 lar del punto A', y la PB ó 6', es la 

 polar de B'; 



4° De la proposición anterior re- 

 sulta que el conjugado de A' es A. y 

 el de B' es B : es decir que los pun- 

 tos de una recta y sus conjugados en 

 esta recta forman dos sistemas en in- 

 volución; 



5» Los triángulos AA'P y BB'P 

 son dos triángulos auto-polares, pues 

 cada uno de sus tres lados tiene por 

 longitud un cuadrante. 



3° El punto pa ó sea A', es el polo 

 de la recta a', y e\ pb ó B', es el po- 

 lo de 6': 



4° De la proposición anterior re- 

 sulta que la conjugada de a' es a, y 

 la de &' es 6 ; es decir que las rectas 

 de un haz plano y sus conjugadas en 

 este haz forman dos sistemas en in- 

 volución; 



5° Los triláteros aa'p y bb'p son 

 dos triláteros auto-polares, pues cada 

 uno de sus tres ángulos son ángulos 

 rectos . 



Involución hiperbólica. — Si la recta p es real (fig. 51), es decir, 

 si corta el círculo en el infinito en dos puntos, Ui _y U¡¿, estos puntos 

 son conjugados de sí mismo, pues hemos visto que la polar de 

 Ui, por ejemplo, es la tangente u^ al círculo en el infinito en este 

 punto, y esta polar corta p en el conjugado de Ui, que es Ui 

 mismo. 



Cuando un punto de una involución es su propio conjugado, se 

 lo llama punto doble ; se ve que: Un polo exterior' á una cónica ü 

 (imagen del círculo en el infinito), determina sobre su polar con 

 relación á esta cónica, dos series de puntos conjugados en involución, 

 cuya involución tiene dos puntos dobles reales , que son los de in- 

 tersección de la polar con la cónica H, y los de contacto de las tan- 

 gentes del polo á la misma. Estos puntos son las imágenes de los 

 puntos en el infinito de la recta p. 



Tal involución con dos puntos dobles, so llama involución hi- 

 perbólica. 



Uniendo el polo P con los puntos de la polar p se obtiene un haz 

 con sosten en P; los rayos conjugados a', b' y a, b, forman dos 

 series de rayos conjugados en involución, cuyos i^ayos dobles son 

 las tangentes del polo á la cónica S, «i y Uo, imágenes de las rectas 

 isótropas por el polo P. 



Esta involución de rayos, con dos rayos dobles, se llama también 

 involución hiperbólica, tratándose ahora de dos radiaciones en in- 

 volución al rededor del mismo sosten P, mientras que antes se 

 trataba de dos puntuales en involución sobre el mismo sos- 

 ten p. 



La puntual p (A, B... A', B'...\ es la sección de la radiación P 

 (a' , 6 ' ... a, b...), por la polar p de P. 



