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Involución elíptica. — Cuando al contrario el polo Pes interior á 

 la cónica ü (fig. 52), su polar p no la corta ya, y los puntos Ui, U2, 

 así como las rectas u^, ih- desaparecen. Sin embargo, las dos pun- 

 tuales A, B... y A', B'... así como las dos radiaciones a' , h' ... y 

 ft, 6... quedan siempre en involución, pero dicha involución no 

 tiene ya ni puntos ni rayos dobles. Se llama involución elíptica. 



Elementos dobles reales ó imaginarios de una involución. — La 

 diferencia fundamental que existe entre esta involución y la hiper- 

 bólica, resulta de la simple comparación délas figuras 51 y 52; en 



, ,, . 1 ipantosBvB'/ lAdeA'i 



la elíptica, los ^ i " , , s no separan ] , ,; mientras que 



^ f rayos o j b^ ' (a de a'> ^ 



en la hiperbólica sucede lo contrario. 



En la involución elíptica se puede llegar de \" \ ' ,[ pasando por 

 ' ^ ^ (a a. a ^ ^ ' 



B ó por B ' indistintamente, pero siempre hay que pasar por uno 



solo de estos puntos; en la hiperbólica, al contrario,, para llegar de 



A á A' se pasa por B y por B', ó por ninguno de los dos; en efecto, 



. vB) ^ (AvUi) , (B'z 



si ., ,í se encuentra entre ," . 1 por ejemplo, ] , se encontrara 



lUivA'/ „ , . 1 ,. .,,. , 1 puntos Ui y üo) 



entre \ - .. En la involución hiperbólica los ^ [ 



( Uyj a) ^ ( rayos u-^ y «2 ) 



1 . (puntoi 1 . (A) , ., 1 itras- 



delerminan con un ' cualquiera , . dos sentidos de \ 



/ rayo ^ ta^' i re- 



lación j -,. . , . . 1 111 .-1 



distintos ; reciprocamente a cada uno de los dos sentidos 

 tacion^ ^ 



, Uraslacioni , , . ^ A la puntual p i 



de < . en que se puede recorrer desde / , , j- ■ t^s 



f. rotación ^ t- ^ 'a' la radiación P' 



, , , i puntos Ui, Uoi 



responde uno de los r^ 



^ ' rayos Ui Uo ^ 



Supongamos que de alguna manera se haga coincidir la recta 

 p de la figura 52, con la misma recta /; de la figura 5 1 , en cuyo caso 

 los polos P coincidirán igualmente; la involución elíptica de la 

 figura 52 se trasformará en la hiperbólica de la figura 51 , y los ele- 

 mentos dobles ^' ^ reaparecerán . Esta coincidencia solo puede 



producirse trasformando la recta imaginaria p (fig. 52), en la rec- 

 ta real p (fig. 51', es decir, trasformando lo real en imaginario, y 



recíprocamente; v como la superposición de una / ' . ." (real 

 ^ - ' ^ 'radiación^ 



