LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 77 



; por consiguiente, si designamos con í K por ejemplo, el 



yos lí) (u-iS 



que corresponde al sentido ^ ,, , > el otro, ^|, corresponderá al 



sentido [,,,(' 

 (b' a ) 



Si Irasíbrmamos una involución hiperbólica en otra elíptica, al 

 sentido AB del segmento determinado por los puntos A y B en la 

 primera^, corresponderá en la segunda el mismo sentido AB; y al 

 sentido BA en la primera, el sentido BA en la segunda. Para abre- 

 viar el discurso podemos decir que el punto doble, imaginario, Ui, 

 es el que corresponde al sentido AB, en la involución elíptica conside- 

 rada, y que el punto doble, imaginario, U2, corresponde, en la mis- 

 ma, al sentido BA. Esto significa que convenimos en designar con 

 Ui el punto doble, real, que se encuentra en el sentido AB en la in- 

 volución hiperbólica obtenida por la trasformacion de la recta p, 

 (fig. 52), con su involución elíptica, en la otra recta p (fig. 51). 



La misma esplicacion vale para la involución elíptica en el 

 haz P (fig. 52), y los elementos dobles, imaginarios, de esta invo- 

 lución: cada uno de ellos corresponde á un sentido de rotación 

 alrededor de P. 



En resumen : Una involución elíptica determina dos elementos 

 dobles imaginarios, y d cada sentido en la inüolucion corresponde 

 uno de dichos elementos. Estos elementos se vuelven tangibles al 

 trasladarse la involución de lo real á lo imaginario. 



En esta propiedad consiste el método clásico, empleado en geo- 

 metría moderna, para representar elementos imaginarios en una 

 recta ó en un haz, mediante una involución elíptica, cuyos elemen- 

 tos dobles son los imaginarios que se quieren representar; este 

 método, debido al preclaro geómetra von Staudt O, es uno de sus 

 descubrimientos más brillantes, y pensamos haber esclarecido un 

 tanto aquí, lo que podía quedar oscuro en los fundamentos mis- 

 mo, en el mecanismo, de esta representación. 



[^] Von Staudt espaso esta teoría por primera vez en su obra Contribuciones á 

 la Geometría de Posición {Beitráge zur Geometrie der Lage] Nüreaberg 1856-60; 

 pero recien en estos últimos años, sobre todo desde 1870 á la fecha, se le ha 

 dado por los geómetras la atención debida y el rango que le corresponde en 

 geometría moderna, en la que permitióla introducción de lo imaginario, abstrac- 

 ción hecha de toda consideración algebraica. 



