LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 



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culo en el infinitO; puntos s, en dos 

 Yo. Uo y Vj, U^. Designaremos con 

 V los puntos de s que se encuentran 

 á un cierto lado de P, arbitrariamen- 

 te elegido, sobre el segmento for- 

 mado por P con o, 1 etc., y con U, 

 los puntos que se encuentran sobre i" 

 del lado de P opuesto al de los V. 



La recta /) = o.l, interior al cír- 

 culo en el infinito 2, lo corta (2) en 

 dos puntos Ujoi y Ujo^ que son los 

 puntos de contacto de las dos tan- 

 gentes que el polo P de p despide ha- 

 cia s. 



Los puntos Vo y Uo determinan 

 con 1 dos rectas, y cada una de es- 

 tas rectas corta s en otro punto más, 

 la primera en U^ y la segunda en 

 \\. 



El cuadrángulo Vo V, Uj Uo, ins- 

 cripto en la cónica 2, tiene por cen- 

 tros P, 1 y 1', y sus tres ejes son 

 P.l, l.'=jD,yP.l'. 



piden hacia el círculo en el infinito, 

 2, dos tangentes Vo, Uo y Vy, ítj. 

 Designaremos con v las tangentes que 

 se encuentran con s (1), á un cierto 

 lado de j9, arbitrariamente elegido, 

 en el ángulo de p con 0.I , etc., y con 

 u las tangentes que se encuentran 

 con 2 del lado de p opuesto al de 

 los u. 



£1 punto P = o.y, exterior al cír- 

 culo en el infinito s, le despide (2) dos 

 tangentes Wp.^ y Up,^ que son las tan- 

 gentes en los dos puntos en que la 

 polar ;) de P encuentra 2. 



Las rectas Vo y uo determinan con 

 1 dos puntos, y cada uno de estos 

 puntos despide hacia 2 otra tangente 

 más, el primero la u^ y el segundo 

 la Va. 



El cuadrilátero Vo Uj u^ Uo , cir- 

 cunscrito á la cónica 2, tiene por 

 ejes p, ■/ y /', y sus tres centros son 

 p.l, 1.1' =P, y p.l' . 



En la figura 54 hay dos figuras superpuestas, de manera que 

 S sea una sola cónica y que la recta p y su polo P sean los mis- 

 mos en ambas construcciones ; además hemos elegido las polares 

 de los puntos oy 1 , como rectas oy i. Esta elección no quita nada 

 á la generalidad de la construcción; ella prueba que las operacio- 

 nes que efectuamos sobre el segmento y el ángulo son idénticas en 

 el fondo, y que es indiferente construir con el segmento o.l ó 



(1) Empleamos aquí la palabra «encontrarse» en el sentido de «chocarse:», 

 « encontrarse juntos » en lugar de « tocarse » pues, dualísticamente, las dos 

 palabras son equivalentes. 



(2) La oración «una recta corta una curva » tiene por recíproca «un punto 

 despide tangentes á una curva » ; el punto despide los rayos de la radiación á 

 que sirve de sosten, como una estrella despide rayos de luz en el espacio que la 

 circunde; asimismo la curva despide tangentes, j la parte común, según la cual 

 la radiación del punto « corta » la de la curva, está formada por las tangentes que 

 este punto despide hacia, ó á, aquella curva. La naturaleza misma nos da mil 

 ejemplos de esta dualidad : el rayo de luz está engendrado por las ondulaciones 

 de las partículas sucesivas del éter, como una recta está formada de los puntos su- 

 cesivos de una puntual ; la estrella es la sensación que nos produce el conjunto de 

 todos los rayos de luz que despide el astro, como una radiación el conjunto de to- 

 das las rectas que despide un punto. 



