136 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



tos, 0, 1, o' 1 ', los dos reales, cuatro de las rectas o, ¡, o' , i ' , 



que satisfacen á esta condi- las dos imaginarias, que satis- 



cion) en puntos Vo, Uo y Vs, Ua; facen á esta condición) tangen- 



se juntan VqUo y V2U0, Vo Uo y les v^, u^ y V2U2. Se obtienen 



V2 U2? cuyas rectas se cortan dos así los puntos v^ u^ y Vo Uo, v^Uo 



á dos sobre la polar p en los y voUo, cuyos puntos están ali- 



centros (puntos medios) bus- neados dos á dos con el polo 



cados, 1 y 1 ' . P sobre los ejes (bisectrices) 



Las rectas Pl y Pl ' son los buscados^ ^ y ^'• 



ejes del mismo segmento. Los puntos p.Jyp.J' son 



los centros del mismo ángulo. 



Duplicación y división en dos del segmento sobre mía recta ima- 

 ginaria^ y del ángulo con vértice real. — Si la recta que une las 

 dos extremidades del segmento fuera imaginaria, ó real e! punto 

 en que se cortan los dos costados del ángulo dado, la duplicación 

 se haría como antes. 



. Proyectando los puntos o, 1 (fig. 5o), desde el polo P obtendría- 

 mos los puntos Uo, Vo, Ui, Vi, con los' que se efectuaría la cons- 

 trucción; asimismo se trazaría un cuadrilátero UoVo u^Vo circuns- 

 crito á ü, cuyos lados ihyv-i se cortarían en el punto buscado 2'. 

 Pero además del cuadrilátero u^v^u^Vi obtendríamos otro u^' Vo' 

 Uo' Vi' determinado por las dos tangentes u^' yv^' trazados por o 

 á S, y sus intersecciones con la normal Pl á /), pues en este caso 

 los puntos o, 1 y o', 1 ', se encuentran los cuatro al exterior de 

 S, y se pueden trazar tangentes á S por cada uno de los puntos 

 oyó'. Por la misma razón, además del cuadrángulo U0V0U2V2 

 se obtendría otro, Uo' Vo' U2' Vo', determinándose los puntos Uo' 

 y Vo' por las intersecciones de Po' con S. 



La división en dos de los segmentos situados sobre rectas ima- 

 ginarias, ó de ángulos con vértices reales, resulta también de la 

 figura, y se efectúa de la misma manera que en el caso estudiado 

 primero, con la sola diferencia de que ambas construcciones, la 

 del cuadrángulo Uo Vo U2 V2, y la del cuadrilátero ?¿o ^'o ^<2 «'2, se apli- 

 can indistintamente para cada par de elementos, ó pora sus con- 

 jugados. 



Duplicación del segmento con una estremidad real y la otra ima- 

 ginaria, y reciproca. — Nos falta estudiar cómo se duplica un seg- 

 mento con una extremidad real y la otra imaginaria, y un ángulo 



