138 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



La recíproca en el caso del ángulo es demasiado evidente para 

 atrazarnos en su examen. 



Consideraciones generales sobre la duplicación y división en dos 

 de un segmento y de un ángulo. — La construcción de la duplica- 

 ción de un segmento ó de un ángulo es completamente general, y 

 no sufre excepción alguna: un elemento no puede pasar por du- 

 plicación de lo real á lo imaginario, cualquiera que sea el eje y 

 centro de simetría empleados. 



Una consecuencia muy notable de esto es, que no podemos divi- 

 dir en dos un par de elementos que no tengan la misma natura- 

 leza, pues de lo contrario podríamos, por abatimiento, alrededor 

 del elemento medio, trasformar un elemento real en otro imagi- 

 nario ; por lo menos si existe un elemento medio para un par de 

 elementos tales, este no gozará de la propiedad de que, por abati- 

 miento al rededor de dicho medio como eje supuesto fijo, pueda lia^ 

 cerse coincidir uno de los elementos con el otro. 



Esto se esplica fácilmente recordando que hemos definido el seg- 

 mento y el ángulo como engendrados por movimiento del elemento 

 original, mientras que sabemos que ningún movimiento puede con- 

 ducirnos á fuera del infinito, es decir, de lo real á lo imaginario, y 

 recíprocamente. Un par de dos elementos, el uno real é imaginario 

 el otro, no es, pues, propiamente lo que hemos llamado segmento 

 ó ángulo, y es lógico que una forma geométrica tal no se pueda 

 dividir en dos : no tiene eje de simetría, ó por lo menos, un movi- 

 miento de abatimiento no puede hacer coincidir uno de sus ele- 

 mentos con el otro. 



Será útil que el lector compare las figuras 54 y oo que nos han 



servido para esta esposicion con las 42 y 43 que ilustran las pro- 



í inscrito ) 

 piedades del cuadrángulo y cuadrilátero . . ( á una có- 



^ o j /circunscritoj 



nica. Encontrará con facilidad que las construcciones efectuadas 

 en ambos casos son idénticas en el fondo, y que las primeras figu- 

 ras dan la división en dos del cuadrante sobre una recta imagi- 

 naria. 



Por comparación, y por simetría, podrá deducir una cantidad de 

 propiedades de simetría de las figuras 54 y 55, pues no hay recta 

 ni punto en ellas que no tenga su simétrico, y todos los pares de 

 elementos simétricos dan lugar á teoremas fundados en la propie- 

 dad de que gozan elementos tales, de encontrarse alineados con un 



