LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 439 



polo, Ó de cortarse sobre un eje. Las recíprocas dan lugar á otra 

 serie de teoremas análogos. 



Por interesante que serían estos desarrollos, debemos evitarlos 

 aquí, para perseguir directamente el objeto de este estudio, aun- 

 que más adelante tengamos alguna vez que volver sobre nuestros 

 pasos para establecer varias de aquellas propiedades, cuyas con- 

 secuencias abarcan casi todo el campo de la geometría y del ál- 

 gebra. 



Duplicación y división en dos de un segmenlo sobre una recta isó- 

 tropa, y reciproca. — Como transición entre la duplicación de un 

 segmento sobre una recta imaginaria, y la misma operación sobre 

 una recta real, tenemos que considerar el caso en que la recta, sos- 

 ten de la puntual que se estudia, sea isótropa ; entonces (fig. 56) 

 el polo P se encuentra sobre p. Dados los puntos o' y 1 ', sus po- 

 lares o' y '/ ' pasan por el punto de contacto, P, déla tangente 

 o '1 ' = JO, con la cónica ü, y por los puntos de contacto, Uo, U2, de 

 las otras dos tangentes, Uo y ih, que dichos puntos despiden hacia 

 S. Los conjugados de o' y 1 ' se confunden con P (1), y las tan- 

 gentes, Vo y v-í, coinciden con p ; las polares o, / de o y 1 se con- 

 funden también con esta recta. 



Si, por la intersección, S], de /' con m^ trazamos otra tangente 

 á S, tendremos la M2, y esta tangente cortará p en el punto 2', cu- 

 ya polar 2 ' pasa por P y por el punto de contacto de u<¿ con S. 



Es evidente que /' es un eje de simetría del ángulo o '.2', y del 

 segmento o ' .2 ' ; el punto 1 ' es un centro de simetría de los mis- 

 mos pares de elementos ; esto resulta directamente por abati- 

 miento de la figura al rededor de I ' como eje, y también de que 

 Ui es perspectiva involutiva de Mo para 1 ' como centro y / ' como 

 eje de perspectiva. 



El otro centro 1 se confunde con P, pues se encuentra en la in- 

 tersección de i ' con p; y el otro eje i se confunde con p, cuya rec- 

 ta une 1 ' con P. 



Las analogías con las propiedades especiales de la involución 



(1) Es muy provechoso seguir esta demostración sobre las figuras 54 y 55, 

 considerando el caso actual como caso limite, en que hay incidencia del polo P 

 con su polar p. Es quizá conveniente recordar aquí que el que quiera estudiar 

 geometría tiene que hacer él mismo las figuras á medida que vaya leyendo el 

 texto. 



