LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 141 



man también elementos fundamentales de la serie. Si estos ele- 

 mentos fundamentales son á la vez ambos reales, ó ambos imagi- 

 narios, todos los demás puntos de la serie serán de la misma na- 

 turaleza, pues por duplicación no podemos nunca cambiarla ; 

 quiere decir que en este caso podremos encontrar el punto medio, 

 k + á, entre cualquier punto k y el siguiente k + 1, y también 



el medio k -i — — - — entre k y cualquier otro punto m de la sé- 



rie; en seguida podemos dividir en dos el segmento k, k 4- §, 

 obteniendo así el punto k +5; dividiendo en dos el segmento 

 k, k + 4, obtendremos el punto k + », y podremos continuar 

 esta división sin más límite que la posibilidad de encontrar un 

 punto entre dos otros. Si admitimos, pues, que la recta sea conti- 

 nua, que un segmento sea divisible al infinito, y que por peque- 

 ñas que sean las partes en que se divida este segmento, no pierdan 

 nunca sus propiedades de recta, podremos encerrar cualquier pun- 

 to de la recta considerada entre dos puntos consecutivos tan próxi- 

 mos uno de otro como querramos, y asignar á la distancia de este 

 punto al origen un cierto valor numérico, con un error menor que 

 cualquier número dado, por exceso ó por defecto. 



La serie cíclica nos servirá, pues, para representar todos los nú- 

 meros: enteros, fraccionafños é inconmensurables, siempre que estos 

 últimos se puedan espresar por fracciones cuyos denominadores 

 sean potencias cualesquiera de 2. 



Al estudiar la generación de la recta, hemos admitido implícita- 

 mente que el espacio es continuo, aún en lo infinitamente pequefio, 

 y no es oportuno discutir aquí esta hipótesis, que forma la base 

 de la aplicación del cálculo infinitesimal á la geometría; tampoco 

 podemos entrar á examinar si todos los números se dejan espresar 

 como límite de fracciones que tengan por denominadores potencias 

 de 2 ; pero deberemos entender, al hablar de la representación de 

 la serie de los números positivos sobre una recta, que dicha re- 

 presentación incluye forzosamente la aceptación de aquellos dos 

 principios (1). 



(1) Estos principios se encuentran discutidos por el profesor P. du Bois-Rey- 

 mond, en su teoría general de las funciones [Die AUgemeine Functionen Theorie, 

 Tübingen, 18821. La demostración de que todo número inconmensurable p, se deja 

 encerrar entre dos fracciones de la forma 



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2/^ 2/^- 



