442 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Procediendo en el sentido opuesto, hubieranios podido duplicar 

 el segmento unitario ol al rededor de o como centro; en este 

 caso hubiéramos obtenido un segmento ol^ igual y de sentido 

 opuesto á o 1 ; este segmento o 1* es igual y de sentido contrario 

 í¡l l^o, el que á su vez, es igual y de mismo sentido que ol ; y 

 como se tiene ol* + l*o = o, resulta o l*~—^l'^o == — ol ; 

 quiere decir que, si ol es la unidad positiva, ol* será la unidad 

 negativa; sigamos duplicando esta unidad negativa: obtendre- 

 mos un nuevo segmento 1*2*, otro 2*3*, etc., todos iguales á o 1*, 

 y la serie de los puntos 1*, 2*, 3*,... (n— 1)*, n*... representará 

 toda la serie de los números enteros negativos. Esta serie será si- 

 métrica de la o, 1, 2,... n— 1, n, con relación al punto o, y tam- 

 bién con relación á su conjugado o' ; por subdivisión en dos de 

 la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos, obtendremos los 



puntos cuyo índice tendrá la forma í — ^77— J , en que A, w, ;ison 



tres números enteros cualesquiera ; quiere decir que obtendremos, 

 con las mismas restricciones de antes, la serie completa de los nú- 

 meros negativos. 



Vem.os, por consiguiente, que: Los puntos de una serie cíclica 

 cualquiera se estienden de ambos lados del origen, y representan la 

 serie completa de los números positivos y negativos. El índice de 

 cualquier punto de la serie, es el número que espresa su distancia al 

 origen, añedida con el segmento unitario. 



La recíproca evidente del teorema anterior es que : Los rayos de 

 una serie cíclica cualquiera se estienden de ambos lados del origen, 

 y representan la serie completa de los números positivos y negativos. 

 El índice de cualquier rayo de la serie, es el número que espresa su 

 ángulo con el origen, medida con el ángulo unitario. 



Una serie cíclica en el haz se obtiene inmediatamente como ra- 

 diación d^, otra descrita por un punto sobre la polar del sosten (ó 

 vértice) del haz considerado. 



Además como una serie cíclica se compone de puros elementos 



se encuentra en la Geometría de Clebsch fVorlesungen Ueber Geom e trie... J tomo 

 II, parte 1% 3" división, Geometría proyectiva y métrica, página 446 (Leipzig 

 1891). Allí mismo se encuentran perfectamente resumidos los principios que 

 pone en juego la representación de la serie de los números por los puntos de una 

 recta. « ¿ Si á cada número responde un punto?» y ¿Si á cada punto responde 

 un número ? » Esta segunda pregunta es probablemente irresoluble. Por lo me- 

 nos es la opinión de los primeros matemáticos contemporáneos. 



