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schneidet, und ziehe endlich aus diesem Punkte durch L ebenfalls 

 eine Gerade, bis sie die OM in N schneidet, wodurch ON als die 

 kleine Halbaxe erfolgt. 



Beweis. 



I. Der Beweis für die Bichtigkeit des Punktes N folgt schon 

 aus der Construction , wenn man sich die zu zeichnende Ellipse 

 durch die Drehung des über AB als Durchmesser beschriebenen 

 Kreises entstanden denkt. Denn sind die Punkte Jund 7¥ Punkte des 

 Kreises , ferner der Punkt /3 als ein fixer Punkt der durch J und M 

 gelegten Geraden, und iVß als eine Stellung der Geraden iü/ß nach 

 der Drehung, so ist, da der Punkt L als ein Punkt der ElHpse 

 gefunden wurde, auch der Punkt iV ein Punkt derselben, und zwar 

 ein Endpunkt der kleinen Axe, indem der Punkt i/ in CD, zugleich 

 aber auch in der über AB beschriebenen Kreislinie liegt; somit ist 

 die iVO die kleine Halbaxe, und daher, wenniV'0 = iVO gemacht 

 wird , ist NN' die gesuchte kleine Axe. 



II. Man kann aber den Beweis auch auf folgende Art führen : 

 Werden die Dreiecke JfOß und KJ^, ferner NO^ und LK^ 



mit einander verglichen, so finden wir, dass je zwei und zwei 

 einander ähnlich sind, nämlich 



AMOßrs^AJKß, 

 und ebenso ^NOßcsjALKß, 



aus welchen folgende brauchbare Proportionen folgen : 



JK.MO = Kß : Oß, 

 und LK: NO = Kß: Oß; 



daher JK : MO = LK : NO 



oder JK: LK = MO : NO (I). 



Setzt man nun die grosse Axe AB = 2a 



und die kleine Axe =2b 



so ist die fragliche Halbaxe . . . NO = b ; 



da also der Punkt L als ein Punkt der Ellipse gefunden wurde, so folgt: 



JK:LK= a:b, 

 also auch MO : NO = a:b; 



oder wenn wir auch für die ersten zwei Ausdrücke der Proportion I 

 die entsprechenden Werthe suchen, so finden wir, da 



also JK =y a" — x^ 



