Bestimmung der Axen bei den Ellipsen. 1T3 



grossen Axe auf einen einfachen Fall, nämlich auf den Fall zurück- 

 geführt, wo die Verlängerung der gegebenen Axe von der der 

 gegebenen Tangente geschnitten wird. Allein dieser Fall kann erst 

 dann angewendet werden, wenn man hierbei nach dem von uns 

 angegebenen Verfahren einen Punkt der Ellipse gefunden hat. 



I. Ist also der Punkt G der Berührungspunkt der gegebenen 

 Tangente mit der zu zeichnenden Ellipse, so könnte man den End- 

 punkt N der grossen Axe dadurch finden, indem man aus M durch 

 H, d. i. durch den dem Berührungspunkte der Ellipse im Kreise ent- 

 sprechenden Punkt , eine Gerade führt , bis die Verlängerung der 

 kleinen Axe AB geschnitten wird, den so erhaltenen Durchschnitts- 

 punkt als den fixen Punkt benützt, und so die verlangte Axe erhält. 



Allein dies ist nicht immer der Fall, und zwar insbesondere 

 dann nicht, wenn der Berührungspunkt sehr nahe an dem Endpunkte 

 der grossen Axe ist, weil in diesem Falle die erforderliche Linie, 

 auch wenn sie verlängert wird, die Axe nicht schneiden kann; man 

 müsste daher noch einen zweiten Punkt suchen. 



Ist nun dieser z. B. der Punkt L, und der ihm entsprechende 

 Punkt im Kreise der Punkt J, so muss , wenn die Punkte J und M 

 Punkte des Kreises sind, und wenn die Linie ßJM als die durch 

 sie gelegt Gerade, deren fixer Punkt in der Axe der Punkt ß ist, 

 betrachtet wird, auch der Punkt iVein Punkt der Ellipse sein; und 

 da dieser Punkt ohnehin in der Richtung der zu bestimmenden Axe 

 liegt, so muss er ein Endpunkt der kleinen Axe sein, w. z. b. w. 



II. Betrachtet man die zwei Paare von Dreiecken NOß, LKß, 

 ferner MOß und JKß, so findet man, dass je zwei einander ähnlich 

 sind, nämlich: 



ANOßo^MKß 

 und MHO ßr^^AJKß, 



woraus folgende Proportionen aufgestellt werden können : 



NO : LK = ßO 



MO :JK = ßO 



daher MO : JK = NO 



oder MO : NO = JK 



ßK 



ßK; 



LK 



LK (I). 



Da nun der Punkt L als ein Punkt der Ellipse gefunden wurde und 

 MO = AO = b gegeben ist, so hat man 



