Bestimmung' der Axen bei den Ellipsen. 187 



Äxe, oder über dem gegebenen conjugirten Durchmesser beschrie- 

 benen Kreises so gewählt werden muss , dass die zwei fixen Punlite 

 der Axe in deren Verlängerung auf die eine oder die andere Seite 

 fallen; ist hingegen die kleinere Axe oder der kleinere conjugirte 

 Durchmesser zu bestimmen, so kann man und soll den Hilfspunkt auf 

 der Peripherie des Hilfskreises so wählen, dass die betreffenden fixen 

 Punkte auf der gegebenen Axe erhalten werden. 



Fassen wir alle die angegebenen Sätze und Constructionen 

 zusammen, so können wir folgenden Lehrsatz aufstellen: 



Ist zur Construction einer Ellipse die eine Axe, 

 oder der eine von den zwei conjugirten Durchmessern 

 nebst der Tangente und der Richtung der zweiten Axe 

 oder des zweiten conjugirten Durchmess ers gegeben, 

 so lässt sich jedesmal der Berührungspunkt dieser 

 Tangente an die zu zeichnende Ellipse bestimmen, 

 alsdann die Ellipse construiren, und in dieser die 

 fehlende Axe oder der fehlende conjugirte Durch- 

 messer der Länge nach finden. 



Hat man also den Berührungspunkt, und ausser diesem auch noch 

 irgend einen andern Punkt der Ellipse bestimmt, so kann man, wie 

 Fig. 11 zeigt, mit Hilfe von einigen wenigen Punkten, d. i. der fixen 

 Punkte der Axe, eine bedeutende Anzahl von Ellipsenpunkten bestimmen . 



Wie man aus der Figur sieht, muss hier die Axe verlängert 

 werden; allein man ist nicht immer im Stande, in einem sol- 

 chen Falle die Ellipsenpunkte zu finden, weil nicht jedesmal die Axe 

 von der Hilfslinie geschnitten werden kann, und es ist in diesem Falle 

 die Lösung der Aufgabe nur dann allgemein, Avenn man beliebig viele 

 Punkte ohne Verlängerung der gegebenen Axe findet. Dies geschieht 

 auf ähnliche Art, wie wir es bei der Bestimmung der Axen ohne 

 Verlängerung der gegebenen Axe gesehen haben. 



Ist nämlich AB (Fig. 12) der eine conjugirte Durchmesser, 

 JOT' die Richtung des zweiten, und J als ein Punkt der Ellipse gegeben, 

 so suche man zuerst den diesem gegebenen Ellipsenpunkte entspre- 

 chenden Punkt J' in dem über AB als Durchmesser beschriebenen 

 Kreise, indem man Jm" \\ XX' führt, sodann durch den so in der^di? 

 erfolgten Punkt auf AB eine Normale führt. Soll nun ein zweiter 

 Punkt der Ellipse bestimmt werden, so verbinde man einen beliebigen 

 Punkt 71 der Peripherie des Kreises mit J', markire den so in der Ji? 



