226 Müller. Über diejenigen Kugeln, 



1. die vier Ecken, 2. die vier Flächen eines beliebigen Tetrae- 

 ders berühren, ohne sich bei der grossen Kürze seines Vortrags auf 

 die Bestimmung ihrer Anzahl einzulassen. Noch jüngeren Datums ist 

 die Berechnung der Halbmesser dieser Berührungskugeln, womit 

 sich Lag ränge, Ca r not und Legendre beschäftigt haben, in- 

 dem Lagrange deren Werthe durch Coordinaten , Car not durch 

 die sechs Tetraederkanten und Legendre durch die Kanten und 

 Winkel einer Tetraederecke ausdrückte, was durchgängig auf ziem- 

 lich weitläufige Formeln führte. Für den Halbmesser der dem Tetrae- 

 der umschriebenen Kugel hat später Grelle einen sehr geschmei- 

 digen und besonders desshalb bemerkenswerthen Ausdruck gegeben, 

 weil dessen Gestalt mit der für den Inhalt des Dreiecks durch die drei 

 Seiten übereinstimmt. Derselbe wird weiter unten bei der Zusammen- 

 stellung aller Formeln seinen Platz finden. Wasdie Berührungskugelii 

 an dieTetraederf lachen betrifft, so wird deren mögliche Anzahl selbst 

 von Lagrange nicht vollständig angegeben, denn er erwähnt ausser 

 der alle Flächen von innen berührenden nur noch die vier, welche 

 je eine Fläche von aussen streifen, währendes deren noch drei geben 

 kann, welche je zwei Flächen von aussen treffen. Alle acht Berüh- 

 rungskugeln an die Flächen sind vielleicht zum ersten Male in meinen 

 „Betrachtungen über das Tetraeder mit seinen Berührungskugeln, 

 Wiesbaden 1852, 4»" etwas näher untersucht worden. Bezeichnet man 

 den Halbmesser der dem Tetraeder = £ umschriebenen Kugel mit r, 

 die Halbmesser aber der die Tetraederflächen A, B, C, D berühren- 

 den Kugeln mit p, so dass diesem Buchstaben die von aussen 

 berührten Flächen zum Zeiger gegeben werden, so erhält man, wenn 

 «1 und «3 , bi und 63 , Ci und Co, Gegenkanten sind, und wenn 



+ «1 «3 + öl 63 + Ci Ca = To 



■ ÖTi «3 + ^1 Ö3 -\- CiC^ = Ta 



+ «1 «3 ^1 63 + Cy C-i =- Tö 



-\- «1 ein -\- bibo, — Ci Co, = Tc 

 gesetzt wird, folgende Ausdrücke: 



r = 



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^^ ^ -i-A + B+C-i-ü' 



