welche die Kauten eines beliebigen Tetraeders berühren. ^^il 



3 "^ 3 ^ 



^''- +A + B-C + D' ^^- 

 3% 

 ^'^""^ -A + B+C-D' ^''"'^ -^A-B+C-D 



+ A- 



-B^C-^D' 





3X 



+A+B+C~D' 





3X 



PCD 



3X 



+A+B—C—D 



wo in den drei letzten Gleichungen 



A-\- D <B + C B-^D<A-\-C C-{- D <A^ B 



angenommen ist. 



Hiermit ist jedoch die Untersuchung der ßerührungskugeln an 

 die gleichartigen Stücke eines Tetraeders nicht erschöpft, indem bis 

 jetzt blos dessen Ecken und Flächen betrachtet worden sind, während 

 man die hier mi t völlig gleichberechtigten Kanten ganz 

 unbeachtet gelasseu hat. Diese Vernachlässigung hängt genau damit 

 zusammen, dass schon Fermat, so wie alle späteren Mathematiker, 

 die sich mit der oben erwähnten allgemeinen Aufgabe beschäftigt, 

 unter den von einer Kugel zu berührenden Stücken die geraden 

 Linien übergangen, und damit jenes Problem willkürlich und 

 zwar bedeutend beschränkt haben. Der Grund hievon liegt dort nahe 

 genug. Man braucht nur den geometrischen Ort der Mittelpunkte 

 aller Kugeln, welche zwei einander kreuzende Gerade berühren, mit 

 den Örtern der Berührungskugeln an zwei Punkte oder zwei Ebenen 

 zu vergleichen, um sich von der bei weitem grösseren Schwierigkeit 

 namentlich einer rein constructiven Auflösung dahin einschlagender 

 Aufgaben zu überzeugen. 



Der Zweck gegenwärtiger Abhandlung ist nun , obige Lücke 

 auszufüllen und sowohl durch Construction als durch Rechnung 



diejenigen Kugeln zu finden, welche die Kanten eines gege- 

 benen beliebigen Tetraeders berühren. 



Da aber, wie von Punkten, Ebenen und Kugeln, so auch von 

 Geraden schon vier Stücke die zugehörigen Berührungskugeln bestim- 

 men, während das Tetraeder sechs Kanten hat, so erhält unsere 

 Aufgabe jetzt folgende bestimmtere Gestalt: 



Alle Kugeln zu finden, welche je vier Kanten 

 eines gegebenen beliebigen Tetraeders berühren. 



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