welche die Kanten eines beliebigen Tetraeders berühren. 229 



liegen, bestimmt ist, so bedarf es blos der Kenntniss derjenigen vier 

 Punkte, worin dieselbe die vier hier in Betracht kommenden Tetra- 

 ederkanten berührt. 



Wir wollen für jede solche Kugel diese Berührungspunkte nach 

 den Kanten 



ftg, Ol, Ci, üi, 



worin sie liegen, mit ag, bi, Ci, ai 



bezeichnen. 



Aus der Lehre von den Berührungskreisen an das Dreieck 

 ergibt sich nun alsbald, dass, wenn eine Kugel alle drei Seiten «3, 

 öl, Ci des Dreiecks Ä von innen berührt, 



bbi = bci = I (— «3 + öl -{- Ci); 

 c Ci = c aa = 1 (+ «3 — 61 + Ci) ; 

 has, = bfii = f (-j- «3 -f öl ^ Ci); 



und wenn eine Kugel von aussen berührt : 



die Seite «3, 



dass bbi =bci =l(H-«2 + öi-|-Ci); 



cci =ca2=i(+«2 — öi + Ci); 

 ba3 = bßi =i(+a2+öi— Ci); 



die Seite b^ , 



bbi =bCi=-i (+«3 + ^1 — ^1); 

 C Ci -= C aa = y (+ «2 + Öl + Ci) ; 



baa = b bi = i(— «3 H- Öl + Ci) ; 



die Seite Cj , 



bbi =bCi =i(+«3 — *i + <^i); 

 cci = ca2 = T(— «a + öi -f Ci); 



6a3 = b6i=l(+a3 + 6i +Ci) 

 ist. 



Es sind demnach von allen vier möglichen Arten von Berührungs- 

 kugeln an die drei Seiten des Dreiecks A die drei Berührungspunkte 

 durch «3 , öl , Ci bestimmt. 



Was jetzt die noch übrige ausserhalb der Fläche Ä liegende 

 Kante «i =ba betrifft, so ist die Strecke ba, als dritte aus der Ecke 

 b an die Kugel gezogene Berührungslinie in jeder der vier Verbin- 

 dungen = b bi = b Ci . Da aber b di von b aus sowohl in der Richtung b a, 

 als auch in der ihr entgegengesetzten, d. i. in der Rückverlängerung 

 von b a abgetragen werden kann , so erhält man zu jeden drei 



