230 Müller. Über diejenig'en Kugeln, 



zusammen gehörigen Punkten a^ , 61 , Ci zwei verschiedene vierte 

 Punkte Ol' und a/'. 

 Hieraus folgt, 



, • m i j 1 X 3 1 • durch eine Ecke 



dass es zu vier 1 etraederkanten , von denen drei j^ gj^gj. Ebene 



liegen ' ^cht verschiedene Berührungskugehi gibt. 

 Da nun nach dem Früheren das Tetraeder 12 solcher Kanten- 

 vierungen enthält, so ergibt sich hieraus, 



dass es im Tetraeder 12*8, d.i. sechsundneunzig verschie- 

 dene Kugeln gibt, welche je vier Kanten desselben berühren, 



, T . durch eine Ecke gehen 



von denen drei ;„ ^-^^^ E^ene liegen • 



Wollte man sich mit der blossen Construction begnügen, so wäre 

 hiermit eigentlich die erste Classe unserer Aufgaben gelöst, weil mit 

 der Kugelfläche zugleich deren Mittelpunkt und Halbmesser gegeben 

 ist. Hiermit wäre indess wenig erreicht, weil das Auffinden von 

 Wechselbeziehungen der erhaltenen Kugeln sehr beschwerlich wer- 

 den würde, und weil man ohnedies fordern kann, dass die verschie- 

 denen Kugelhalbmesser unmittelbar durch die das Tetraeder 

 bestimmendenStücke ausgedrückt werden. Dies aber lässt sich nur auf 

 dem Wegeder Rechnung erlangen, zu welcher wir jetzt übergehen 

 wollen. 



Über die Wahl der Bestimmungsstücke des Tetraeders, deren 

 bekanntlich sechs erforderlich sind, kann man hier nicht zweifelhaft 

 sein, da die zu berührenden Stücke lauter Ka nten sind und da 

 diese ausserdem den ausschliesslichen Vorzug der Gleichartig- 

 keit haben. Wir werden demnach die Kugelradien durch die 

 sechs Tetraederkanten auszudrücken suchen. 



Am nächsten läge für diesen Zweck der Gedanke, die neue 

 Aufgabe auf eine frühere zurückzuführen. Da nämlich, wie in unserem 

 obigen Beispiele für die Berührung der Kanten «j bxCi «3, die zugehö- 

 rigen Berührungspunkte ai bi Ci a^ bereits gefunden sind , so hätte 

 man nur die obige Formel für 



, ^y T„T, T~T, 



^ 24X' 



auf das neue Tetraeder ai {\ <:^ dz anzuwenden, und zu diesem 

 Behufe die sechs Kanten (Xx bi , a, c, . t, c, , a.. 6, , a^ Cj , a, a^ durch 

 dieKanten des gegebenen Tetraeders abcb auszudrücken. Dann wäre 

 der Halbmesser der dem Tetraeder a, fc, d a., umschriebenen Kugel 



