welche die Kanten eines beliebigen Tetraeders berühren. 231 



zugleich der Halbmesser der gesuchten Berührungskugel an die 

 Kanten «i hi d «o. Man überzeugt sich jedoch sehr bald, dass die- 

 ses Verfahren auf höchst weitläufige Ausdrücke führen Avürde, indem 

 zwar die fünf ersten Abstände ai bi bisasCi ziemlich einfach sind, z.B. 



+ «2 + »1 + Cl Ol Cj 



dagegen der sechste Abstand ai a^, welcher zweien Gegen kanten 

 des gegebenen Tetraeders angehört, sehr viele Glieder enthält. 



Zweckmässiger werden wir bei der Auflösung unserer Aufgabe 

 von den geometrischen Örtern derMittelpunkte aller derjenigen 

 Kugeln ausgehen, welche 



1. drei Gerade, wie a^ , bi, Ci, berühren, die einander zu je zweien 

 in verschiedenen Punkten schneiden, also in einer Ebene 

 liegen und ein Dreieck, wie J, begrenzen; 



2. drei Gerade, wie «j , bi, Ci, berühren, die durch einen Punkt, 

 wie b, gehen, aber nicht in einerlei Ebene liegen, also eine 

 Ecke bilden. 



Alsdann geben die Durchschnittspunkte je eines Paares dieser 

 Örter die Mittelpunkte der gesuchten Berührungskugeln, aus deren 

 Lage gegen das Tetraeder wir hierauf die betreffenden Radien durch 

 Rechnung werden abzuleiten haben. 



Da wir bereits wissen, dass von nicht weniger als 96 Kugeln 

 die Halbmesser zu suchen sind, so werden wir vor allen Dingen auf 

 eine einfache und sichere Bezeichnung alles Erforderlichen 

 bedacht sein müssen, wenn die Ergebnisse unter einander vergleich- 

 bar werden und wir uns überhaupt in der ganzen Untersuchung leicht 

 zurecht finden sollen. Wendet man die gewöhnliche, auch hier bis 

 jetzt gebrauchte Bezeichnungsweise der Tetraederstücke an, wornach 

 die Ecken mit 



a, 6, c, b, 

 deren Gegenflächen mit A, B, C, D, 



und die Kanten 



ba, bb, bc; 6c, ca, a&, 

 mit «o bu Ci ; «3, 62, C3 



bezeichnet werden, so zeigt sich überall, wo bei Tetraederunter- 

 suchungeu Ecken oder Flächen mit Kanten oder Keilen in Verbindung 

 treten, eine gewisse üngleichförmigkeit in den Formeln, welche den 



