welche die Kanten eines beliebigen Tetraeders berühren. 249 



Mehr Interesse wird es dagegen gewähren, schliesslich 

 die Beschaffenheit derjenigen Tetraeder zu ermitteln, für welche 

 es Kugeln gibt, die alle sechs Kanten zugleich berüh- 

 ren, und von diesen Kugeln die Halbmesser zu bestimmen. 

 Diese Aufgabe steht, wie sich sogleich zeigen wird, mit der 



vorigen in genauem Zusammenhange. 



Am natürlichsten gelangen wir zu deren Auflösung , wenn wir 



hiezu die Gleichungen für die Halbmesser erster Classe benutzen. 

 Soll eine Kugel alle sechs Tetraederkanten von innen berühren, 



so muss z. B. 



(cco bo) = {ßo bo) == (70 bo) 

 d. i. au = bat = Cab 



oder 1 (— «3 + 6, 4- ci) = I (~ 63 + £ifi + Ci) = i- (— Ca -f «1 + öl ) 



werden. Hieraus aber folgt augenblicklich : 



(k + «3 = 61 + 6a = Ci + Ca- 



Damit die sechs Kanten eines Tetraeders von innen berührt 

 werden, muss in diesem die Summe je zweier Gegenkanten 

 beständig sein. 



Soll eine solche Kugel in der Ecke bo liegen und die Kanten 

 der Fläche D von aussen berühren, so wird 



(«ßcbo) = (ßacbo) = (Vaßbo) 



d. i. «0 = bo = Co 



oder i (a^ -^ bi + d) = i (63 + Ci + «0 = i (cg + «1 + ^0 



und man erhält : 



«1 — «3 = 61 — 63 = Ci C3. 



Soll die Kugel in der Ecke Co liegen, und die Kanten der 

 Fläche C von aussen berühren, so wird 



(cCfib Co) = (ßai Co) = (dal Co) 



d- i. uo = bo = clo 



oder |(«34-6i+ci) = i(6a + Ci+«0 == ^(ca + aa + öa), 



woraus man findet «j — «3 = 61 — 63 = — (cj — 6-3) ; 



für die Ecke fe« und die Fläche B ist 



«1 — «3 = — (61 — 63) = d — Ca 



