§4:4- Här t enb er g-er. Bestimmung analytischer Gleichungen 



Diese Gleichung gibt für u^ zwei Werthe, deren jeder einen 

 zugehörigen Punkt und damit eine der gewählten Anordnung ent- 

 sprechende Lösung des Problems bestimmt. 



Wird ^(wj ^" ^i^ entsprechende Sehnengleichung umgewan- 

 delt, so wird diese die Form haben : 



y, ? (^\y} + ^. 'P 0^^' 2/) + 2i> X G^^ y) = o = F, {x\ y), 

 wo f, 4» und X» also auch F^ selbstverständlich 1 i n e a r e F u n cti o n e n 

 von X und y sind. Die Gerade dieser Gleichung verbindet die beiden 

 den Werthen für u, aus der Gleichung <1> (iii) = o entsprechenden 

 Punkte. Ist diese Gerade bekannt, so sind damit die beiden entspre- 

 chenden Lösungen der Aufgabe gegeben. 



Solcher Geraden gibt es so Ariele, als esGleichungen 4>(?^), d.h. 

 soviel als es gegebene Punkte gibt, deren jedem eine gewisse Gerade 

 F{x, y) entspricht, wie z. ß. dem Punkte iv„ y, die Gerade F,(x,y). 

 Unter der einem bestimmten Punkte x^, y^ entsprechenden Geraden 

 F^(iv,y) verstehe ich also die Gerade jener Gleichung, die auf eine 

 in Bezug dieses Punktes ganz gleiche Weise deducirt wird, wie die 

 Gleichung F,,{xy) rücksichtlich des Punktes x„ y,. 



Sind (Figur 2) u, u,, . . . m„ und «'/ ii , . . . u,,' die beiden 

 der Bedingung entsprechenden Vielecke, so ist die Linie «, m/ die 

 Gerade F,(x,yy 



Die Gleichung F,(jjc,y^ war: 



y'?(^'y) + ^'"Pd^^y) + ^pxi^'V) = o- 



Dieser Gleichung wird genügt, wenn: 



1. f(x,y) = 0, und X/^(x,y') -\- ^J^Xi^'V) '^ ^ wird; oder 



wenn : 



2. ''p(x,y) = und y,f(x,y') -\- 2px(^v>y) = o wird. 



Die allgemeine Kegelschnittsgleichung y^ = 2p x -{- qx'^ bleibt 

 nun der Form nach dieselbe, wenn die Coordinaten- Axen überhaupt 

 die Richtungen zweier conjugirten Durchmesser haben, während der 

 Anfangspunkt stets auf der Peripherie des Kegelschnittes bleibt. 



Da ferner die Gerade Fi{£C,y^ von der Wahl des Coordinaten- 

 Systems nicht abhängt, so ist es gleichgiltig, was für zwei conjugirte 

 Richtungen ich bei Fixirung irgend eines Punktes der Geraden 

 F,{x,y} zu Coordinaten-Axen wähle. Bedenken wir noch, dass die 

 Ausdrücke f, ^ und ^ ^iß Coordinaten x„ y, nicht enthalten, so 



